Номер 1077, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 62. Размещения - номер 1077, страница 326.

Условие.

1077 Решить относительно m уравнение:

1) $A_m^2 = 72$;

2) $A_m^2 = 56$;

3) $A_m^3 = 12m$;

4) $A_m^3 = 20m$;

5) $A_{m+1}^2 = 110$;

6) $A_{m+2}^2 = 90$;

7) $A_m^5 = 18A_{m-2}^4$;

8) $(m-4) \cdot A_m^4 = 21 (m-5) \cdot A_{m-2}^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Уравнение: $A_m^2 = 72$. Формула для размещений (числа перестановок) $A_n^k$ имеет вид: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$. Применяя эту формулу для $k=2$, получаем: $A_m^2 = m(m-1)$. Подставляем в исходное уравнение: $m(m-1) = 72$. Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение: $m^2 - m - 72 = 0$. По определению числа размещений, $m$ должно быть натуральным числом и удовлетворять условию $m \ge 2$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $m_1$ и $m_2$ удовлетворяют условиям $m_1 + m_2 = 1$ и $m_1 \cdot m_2 = -72$. Подбором находим корни: $m_1 = 9$ и $m_2 = -8$. Поскольку $m$ должно быть натуральным числом, корень $m = -8$ не подходит. Проверяем условие $m \ge 2$: $9 \ge 2$. Условие выполняется. Таким образом, решением уравнения является $m=9$.
Ответ: $m=9$.

2) Уравнение: $A_m^2 = 56$. По формуле размещений: $A_m^2 = m(m-1)$. Уравнение принимает вид: $m(m-1) = 56$. $m^2 - m - 56 = 0$. Область допустимых значений: $m \in \mathbb{N}$, $m \ge 2$. Корни квадратного уравнения: $m_1 = 8$ и $m_2 = -7$. Корень $m = -7$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением. Корень $m = 8$ удовлетворяет условию $m \ge 2$.
Ответ: $m=8$.

3) Уравнение: $A_m^3 = 12m$. По формуле размещений: $A_m^3 = m(m-1)(m-2)$. Уравнение принимает вид: $m(m-1)(m-2) = 12m$. Область допустимых значений: $m \in \mathbb{N}$, $m \ge 3$. Поскольку $m \ge 3$, $m \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $m$: $(m-1)(m-2) = 12$. $m^2 - 3m + 2 = 12$. $m^2 - 3m - 10 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Корни: $m_1 = \frac{3 + \sqrt{9 - 4(-10)}}{2} = \frac{3+7}{2} = 5$ и $m_2 = \frac{3-7}{2} = -2$. Корень $m = -2$ не удовлетворяет условию $m \ge 3$. Корень $m = 5$ удовлетворяет условию $m \ge 3$.
Ответ: $m=5$.

4) Уравнение: $A_m^3 = 20m$. По формуле размещений: $A_m^3 = m(m-1)(m-2)$. Уравнение принимает вид: $m(m-1)(m-2) = 20m$. Область допустимых значений: $m \in \mathbb{N}$, $m \ge 3$. Делим обе части на $m$ (так как $m \neq 0$): $(m-1)(m-2) = 20$. $m^2 - 3m + 2 = 20$. $m^2 - 3m - 18 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Корни: $m_1 = \frac{3 + \sqrt{9 - 4(-18)}}{2} = \frac{3+9}{2} = 6$ и $m_2 = \frac{3-9}{2} = -3$. Корень $m = -3$ не удовлетворяет условию $m \ge 3$. Корень $m = 6$ удовлетворяет условию $m \ge 3$.
Ответ: $m=6$.

5) Уравнение: $A_{m+1}^2 = 110$. По формуле размещений: $A_{m+1}^2 = (m+1)((m+1)-1) = (m+1)m$. Уравнение принимает вид: $m(m+1) = 110$. Область допустимых значений: $m+1 \ge 2$, что означает $m \ge 1$, $m \in \mathbb{N}$. $m^2 + m - 110 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Корни: $m_1 = 10$ и $m_2 = -11$. Корень $m = -11$ не удовлетворяет условию $m \ge 1$. Корень $m = 10$ удовлетворяет условию $m \ge 1$.
Ответ: $m=10$.

6) Уравнение: $A_{m+2}^2 = 90$. По формуле размещений: $A_{m+2}^2 = (m+2)((m+2)-1) = (m+2)(m+1)$. Уравнение принимает вид: $(m+2)(m+1) = 90$. Область допустимых значений: $m+2 \ge 2$, что означает $m \ge 0$. Так как $m$ - натуральное, то $m \ge 1$. $m^2 + 3m + 2 = 90$. $m^2 + 3m - 88 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Корни: $m_1 = \frac{-3 + \sqrt{9 - 4(-88)}}{2} = \frac{-3+19}{2} = 8$ и $m_2 = \frac{-3-19}{2} = -11$. Корень $m = -11$ не удовлетворяет условию $m \ge 1$. Корень $m = 8$ удовлетворяет условию $m \ge 1$.
Ответ: $m=8$.

7) Уравнение: $A_m^5 = 18 A_{m-2}^4$. Распишем выражения для размещений: $A_m^5 = m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)$. $A_{m-2}^4 = (m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$. Область допустимых значений определяется условиями: $m \ge 5$ и $m-2 \ge 4$, откуда $m \ge 6$. Подставим выражения в уравнение: $m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4) = 18 (m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$. Так как $m \ge 6$, множители $(m-2)$, $(m-3)$ и $(m-4)$ не равны нулю, поэтому мы можем на них сократить: $m(m-1) = 18(m-5)$. $m^2 - m = 18m - 90$. $m^2 - 19m + 90 = 0$. По теореме Виета, корни $m_1=9$ и $m_2=10$. Оба корня удовлетворяют условию $m \ge 6$.
Ответ: $m=9, m=10$.

8) Уравнение: $(m-4) \cdot A_m^4 = 21 (m-5) \cdot A_{m-2}^3$. Распишем выражения для размещений: $A_m^4 = m(m-1)(m-2)(m-3)$. $A_{m-2}^3 = (m-2)(m-3)(m-4)$. Область допустимых значений: $m \ge 4$ и $m-2 \ge 3$, откуда $m \ge 5$. Подставим выражения в уравнение: $(m-4) \cdot m(m-1)(m-2)(m-3) = 21 (m-5) \cdot (m-2)(m-3)(m-4)$. Так как $m \ge 5$, множители $(m-2)$, $(m-3)$ и $(m-4)$ не равны нулю, сокращаем на них: $m(m-1) = 21(m-5)$. $m^2 - m = 21m - 105$. $m^2 - 22m + 105 = 0$. По теореме Виета, корни $m_1=7$ и $m_2=15$. Оба корня удовлетворяют условию $m \ge 5$.
Ответ: $m=7, m=15$.