Номер 1089, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 63. Сочетания и их свойства - номер 1089, страница 329.

Условие.

1089 В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами из состава хора можно выбрать для участия в районном смотре:

1) 5 девочек и 2 мальчиков;

2) 4 девочек и 3 мальчиков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулы комбинаторики, поскольку порядок выбора участников не важен. Мы будем вычислять число сочетаний. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Общее число способов будет равно произведению числа способов выбора девочек и числа способов выбора мальчиков (правило произведения в комбинаторике).

1) 5 девочек и 2 мальчиков
Сначала найдем, сколькими способами можно выбрать 5 девочек из 7 имеющихся. Здесь $n=7$, $k=5$.
Число способов выбрать девочек: $C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$ способ.
Теперь найдем, сколькими способами можно выбрать 2 мальчиков из 4 имеющихся. Здесь $n=4$, $k=2$.
Число способов выбрать мальчиков: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ способов.
Чтобы найти общее число способов сформировать группу из 5 девочек и 2 мальчиков, нужно перемножить полученные значения:
$N_1 = C_7^5 \cdot C_4^2 = 21 \cdot 6 = 126$ способов.
Ответ: 126.

2) 4 девочек и 3 мальчиков
Сначала найдем, сколькими способами можно выбрать 4 девочек из 7. Здесь $n=7$, $k=4$.
Число способов выбрать девочек: $C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$ способов.
Теперь найдем, сколькими способами можно выбрать 3 мальчиков из 4. Здесь $n=4$, $k=3$.
Число способов выбрать мальчиков: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4$ способа.
Чтобы найти общее число способов сформировать группу из 4 девочек и 3 мальчиков, нужно перемножить полученные значения:
$N_2 = C_7^4 \cdot C_4^3 = 35 \cdot 4 = 140$ способов.
Ответ: 140.