Номер 5, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Проверь себя к главе 11 - номер 5, страница 334.

Условие.

5 Записать разложение бинома $(1-x)^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Для разложения бинома $(1-x)^6$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном случае $a=1$, $b=-x$ и $n=6$.

Подставим значения в формулу. Разложение будет содержать $n+1=7$ членов:

$(1-x)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k (1)^{6-k} (-x)^k = C_6^0(1)^6(-x)^0 + C_6^1(1)^5(-x)^1 + C_6^2(1)^4(-x)^2 + C_6^3(1)^3(-x)^3 + C_6^4(1)^2(-x)^4 + C_6^5(1)^1(-x)^5 + C_6^6(1)^0(-x)^6$

Вычислим биномиальные коэффициенты $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_6^0 = \frac{6!}{0! \cdot 6!} = 1$
$C_6^1 = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = 6$
$C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$
$C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$
$C_6^4 = C_6^2 = 15$ (в силу симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$)
$C_6^5 = C_6^1 = 6$
$C_6^6 = C_6^0 = 1$

Теперь подставим вычисленные коэффициенты в разложение и упростим, учитывая, что $(-x)^k = (-1)^k x^k$ и $1$ в любой степени равен $1$:

$(1-x)^6 = 1 \cdot 1 + 6 \cdot (-x) + 15 \cdot (x^2) + 20 \cdot (-x^3) + 15 \cdot (x^4) + 6 \cdot (-x^5) + 1 \cdot (x^6)$

$(1-x)^6 = 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - 6x^5 + x^6$

Ответ: $(1-x)^6 = 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - 6x^5 + x^6$.