Номер 1109, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1109, страница 335.

Условие.

1109 Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1) $C^1_4 + C^2_4 + C^3_4 + C^4_4$;

2) $C^1_5 + C^2_5 + C^3_5 + C^4_5$;

3) $C^0_7 + C^7_7 + C^1_7 + C^6_7 + C^2_7 + C^5_7 + C^3_7 + C^4_7$;

4) $C^0_6 + C^6_6 + C^1_6 + C^5_6 + C^2_6 + C^4_6 + C^3_6$;

5) $C^2_{12} + C^3_{12} + C^4_{13} + C^5_{14}$;

6) $C^3_9 + C^4_9 + C^5_{10} + C^6_{11}$;

7) $C^7_{21} - C^7_{20}$;

8) $C^9_{25} - C^9_{24}$;

9) $C^{10}_{15} - C^9_{14}$;

10) $C^8_{13} - C^7_{12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4$

Для упрощения используем формулу суммы биномиальных коэффициентов: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$. В данном случае $n=4$, полная сумма равна $\sum_{k=0}^{4} C_4^k = C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 = 16$. Исходное выражение можно представить как разность полной суммы и недостающего члена $C_4^0$: $C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = (\sum_{k=0}^{4} C_4^k) - C_4^0 = 2^4 - C_4^0$. Так как $C_4^0 = 1$, получаем: $16 - 1 = 15$.
Ответ: 15

2) $C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4$

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу суммы биномиальных коэффициентов для $n=5$: $\sum_{k=0}^{5} C_5^k = 2^5 = 32$. Выражение можно представить как разность полной суммы и недостающих членов $C_5^0$ и $C_5^5$: $C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 = (\sum_{k=0}^{5} C_5^k) - C_5^0 - C_5^5 = 2^5 - C_5^0 - C_5^5$. Так как $C_5^0 = 1$ и $C_5^5 = 1$, получаем: $32 - 1 - 1 = 30$.
Ответ: 30

3) $C_7^0 + C_7^7 + C_7^1 + C_7^6 + C_7^2 + C_7^5 + C_7^3 + C_7^4$

Перегруппировав слагаемые, получим полную сумму биномиальных коэффициентов для $n=7$: $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = \sum_{k=0}^{7} C_7^k$. По формуле суммы биномиальных коэффициентов, это выражение равно $2^7$. $2^7 = 128$.
Ответ: 128

4) $C_6^0 + C_6^6 + C_6^1 + C_6^5 + C_6^2 + C_6^4 + C_6^3$

Перегруппировав слагаемые, получим полную сумму биномиальных коэффициентов для $n=6$: $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k$. По формуле суммы биномиальных коэффициентов, это выражение равно $2^6$. $2^6 = 64$.
Ответ: 64

5) $C_{12}^2 + C_{12}^3 + C_{13}^4 + C_{14}^5$

Последовательно применяем тождество Паскаля $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$:
1. $C_{12}^2 + C_{12}^3 = C_{13}^3$. Выражение становится: $C_{13}^3 + C_{13}^4 + C_{14}^5$.
2. $C_{13}^3 + C_{13}^4 = C_{14}^4$. Выражение становится: $C_{14}^4 + C_{14}^5$.
3. $C_{14}^4 + C_{14}^5 = C_{15}^5$.
Теперь вычислим значение $C_{15}^5$: $C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{(5 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 13 \cdot (4 \cdot 3) \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 11 = 3003$.
Ответ: 3003

6) $C_9^3 + C_9^4 + C_{10}^5 + C_{11}^6$

Последовательно применяем тождество Паскаля $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$:
1. $C_9^3 + C_9^4 = C_{10}^4$. Выражение становится: $C_{10}^4 + C_{10}^5 + C_{11}^6$.
2. $C_{10}^4 + C_{10}^5 = C_{11}^5$. Выражение становится: $C_{11}^5 + C_{11}^6$.
3. $C_{11}^5 + C_{11}^6 = C_{12}^6$.
Теперь вычислим значение $C_{12}^6$: $C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{12}{6 \cdot 2} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 11 \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = 924$.
Ответ: 924

7) $C_{21}^7 - C_{20}^7$

Воспользуемся следствием из тождества Паскаля: $C_n^k - C_{n-1}^k = C_{n-1}^{k-1}$. При $n=21$ и $k=7$ получаем: $C_{21}^7 - C_{20}^7 = C_{20}^{7-1} = C_{20}^6$. Вычислим значение $C_{20}^6$: $C_{20}^6 = \frac{20!}{6!14!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем: $\frac{20}{5 \cdot 4} = 1$, $\frac{18}{6 \cdot 3} = 1$, $\frac{16}{2} = 8$. Получаем: $19 \cdot 17 \cdot 8 \cdot 15 = 323 \cdot 120 = 38760$.
Ответ: 38760

8) $C_{25}^9 - C_{24}^9$

Аналогично предыдущему пункту, используем следствие $C_n^k - C_{n-1}^k = C_{n-1}^{k-1}$. При $n=25$ и $k=9$ получаем: $C_{25}^9 - C_{24}^9 = C_{24}^{9-1} = C_{24}^8$. Вычислим значение $C_{24}^8$: $C_{24}^8 = \frac{24!}{8!16!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем: $\frac{24}{8 \cdot 3} = 1$, $\frac{21}{7} = 3$, $\frac{18}{6} = 3$, $\frac{20}{5 \cdot 4} = 1$, $\frac{22}{2}=11$. Получаем: $23 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 = 23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 9 = 437 \cdot 17 \cdot 99 = 7429 \cdot 99 = 7429 \cdot (100-1) = 742900 - 7429 = 735471$.
Ответ: 735471

9) $C_{15}^{10} - C_{14}^9$

Сначала применим свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_{15}^{10} = C_{15}^{15-10} = C_{15}^5$. $C_{14}^9 = C_{14}^{14-9} = C_{14}^5$. Выражение принимает вид: $C_{15}^5 - C_{14}^5$. Теперь используем следствие из тождества Паскаля $C_n^k - C_{n-1}^k = C_{n-1}^{k-1}$: $C_{15}^5 - C_{14}^5 = C_{14}^{5-1} = C_{14}^4$. Вычислим значение $C_{14}^4$: $C_{14}^4 = \frac{14!}{4!10!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{14}{2} \cdot 13 \cdot \frac{12}{4 \cdot 3} \cdot 11 = 7 \cdot 13 \cdot 1 \cdot 11 = 1001$.
Ответ: 1001

10) $C_{13}^8 - C_{12}^7$

Воспользуемся другим следствием из тождества Паскаля: $C_n^k - C_{n-1}^{k-1} = C_{n-1}^k$. При $n=13$ и $k=8$ получаем: $C_{13}^8 - C_{12}^{8-1} = C_{13}^8 - C_{12}^7 = C_{12}^8$. Для упрощения вычислений применим свойство симметрии $C_{12}^8 = C_{12}^{12-8} = C_{12}^4$. Вычислим значение $C_{12}^4$: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{12}{4 \cdot 3} \cdot 11 \cdot \frac{10}{2} \cdot 9 = 1 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495$.
Ответ: 495