Номер 1108, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1108, страница 335.

Условие.

1108 Сколько диагоналей имеет выпуклый:

1) семиугольник;

2) восьмиугольник?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти количество диагоналей в выпуклом многоугольнике, можно воспользоваться общей формулой. Диагональ – это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Пусть у многоугольника $n$ вершин. Из каждой вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних с ней вершин. То есть, из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали.

Поскольку вершин всего $n$, то общее число исходящих диагоналей будет $n \cdot (n-3)$. Однако, при таком подсчете каждая диагональ учитывается дважды (например, диагональ из вершины A в вершину B и из вершины B в вершину A — это одна и та же диагональ). Следовательно, полученное произведение нужно разделить на 2.

Формула для нахождения числа диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь применим эту формулу для решения задачи.

1) семиугольник

В семиугольнике 7 вершин, значит $n=7$. Подставим это значение в формулу:

$D = \frac{7 \cdot (7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Таким образом, выпуклый семиугольник имеет 14 диагоналей.

Ответ: 14

2) восьмиугольник

В восьмиугольнике 8 вершин, значит $n=8$. Подставим это значение в формулу:

$D = \frac{8 \cdot (8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Таким образом, выпуклый восьмиугольник имеет 20 диагоналей.

Ответ: 20