Номер 1107, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1107, страница 335.

Условие.

1107 Сколькими способами можно назначить патруль из двух солдат и одного офицера, если в роте:

1) 75 солдат и 6 офицеров;

2) 78 солдат и 5 офицеров?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для назначения патруля необходимо выполнить два независимых действия: выбрать двух солдат и выбрать одного офицера. Общее количество способов будет равно произведению количества способов для каждого действия, согласно правилу произведения в комбинаторике.

Сначала найдем количество способов выбрать 2 солдат из 75. Так как порядок выбора солдат в патруле не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k$ — число выбираемых элементов.

В нашем случае $n=75$ и $k=2$.

Число способов выбрать 2 солдат из 75 равно:

$C_{75}^2 = \frac{75!}{2!(75-2)!} = \frac{75!}{2! \cdot 73!} = \frac{75 \times 74}{2 \times 1} = 75 \times 37 = 2775$.

Далее найдем количество способов выбрать 1 офицера из 6. Это можно сделать 6 способами, что также можно рассчитать по формуле сочетаний:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = \frac{6}{1} = 6$.

Теперь умножим количество способов выбора солдат на количество способов выбора офицера, чтобы найти общее число способов сформировать патруль:

$N_1 = C_{75}^2 \times C_6^1 = 2775 \times 6 = 16650$.

Ответ: 16650.

2) Аналогично решаем вторую часть задачи. В роте 78 солдат и 5 офицеров.

Количество способов выбрать 2 солдат из 78:

$C_{78}^2 = \frac{78!}{2!(78-2)!} = \frac{78!}{2! \cdot 76!} = \frac{78 \times 77}{2 \times 1} = 39 \times 77 = 3003$ способа.

Количество способов выбрать 1 офицера из 5:

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5}{1} = 5$ способов.

Общее число способов сформировать патруль в этом случае:

$N_2 = C_{78}^2 \times C_5^1 = 3003 \times 5 = 15015$.

Ответ: 15015.