Номер 4, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Проверь себя к главе 11 - номер 4, страница 334.

Условие.

22 школьника?

4 Найти значение выражения $\frac{C_8^3 \cdot P_6}{A_7^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Для нахождения значения выражения $\frac{C_8^3 \cdot P_6}{A_7^4}$ необходимо последовательно вычислить каждый из его компонентов: число сочетаний $C_8^3$, число перестановок $P_6$ и число размещений $A_7^4$.

1. Вычислим значение $C_8^3$ (число сочетаний из 8 элементов по 3). Это количество способов выбрать 3 элемента из 8 без учета порядка. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем значения $n=8$ и $k=3$:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$.

2. Вычислим значение $P_6$ (число перестановок 6 элементов). Это количество способов упорядочить 6 различных элементов. Формула для числа перестановок:

$P_n = n!$

Подставляем значение $n=6$:

$P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.

3. Вычислим значение $A_7^4$ (число размещений из 7 элементов по 4). Это количество способов выбрать 4 элемента из 7 с учетом порядка. Формула для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставляем значения $n=7$ и $k=4$:

$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$.

4. Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение и найдем его значение:

$\frac{C_8^3 \cdot P_6}{A_7^4} = \frac{56 \cdot 720}{840}$

Сократим дробь. Можно заметить, что $840 = 84 \cdot 10$ и $720 = 72 \cdot 10$.

$\frac{56 \cdot 720}{840} = \frac{56 \cdot 72}{84}$

Далее, $56 = 7 \cdot 8$ и $84 = 7 \cdot 12$. Сокращаем на 7:

$\frac{8 \cdot 72}{12}$

Так как $72 \div 12 = 6$, получаем:

$8 \cdot 6 = 48$

Другой способ — это записать все выражение через факториалы и сократить:

$\frac{C_8^3 \cdot P_6}{A_7^4} = \frac{\frac{8!}{3! \cdot 5!} \cdot 6!}{\frac{7!}{3!}} = \frac{8! \cdot 6! \cdot 3!}{3! \cdot 5! \cdot 7!} = \frac{8! \cdot 6!}{5! \cdot 7!}$

Расписываем $8! = 8 \cdot 7!$ и $6! = 6 \cdot 5!$:

$\frac{(8 \cdot 7!) \cdot (6 \cdot 5!)}{5! \cdot 7!} = 8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 48