Номер 1112, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1112, страница 335.

Условие.

1112 В некотором государстве автомобильный номер составляется из трёх различных букв алфавита, состоящего из 25 букв, и трёх цифр (с их возможными повторами). Скольким автомобилям можно присвоить получаемые таким образом номера?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо определить количество возможных комбинаций для буквенной и цифровой частей автомобильного номера по отдельности, а затем перемножить эти значения, используя правило произведения в комбинаторике.

1. Вычисление количества комбинаций для буквенной части.

Согласно условию, буквенная часть номера состоит из трёх различных букв, выбираемых из алфавита в 25 букв. Поскольку порядок букв в номере важен (например, комбинации "АБВ" и "ВБА" считаются разными номерами), а буквы не могут повторяться, для расчёта количества вариантов следует использовать формулу для размещений без повторений.

Формула для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В данном случае, общее количество букв $n = 25$, а количество букв в номере $k = 3$.

Подставляем значения в формулу:$A_{25}^3 = \frac{25!}{(25-3)!} = \frac{25!}{22!} = 25 \times 24 \times 23 = 13\,800$.

Таким образом, существует 13 800 уникальных комбинаций для буквенной части номера.

2. Вычисление количества комбинаций для цифровой части.

Цифровая часть номера состоит из трёх цифр. Для каждой позиции можно использовать любую из 10 арабских цифр (от 0 до 9). В условии указано, что повторения цифр возможны. Это означает, что для каждой из трёх позиций есть 10 вариантов выбора.

Количество комбинаций для цифровой части рассчитывается как:$10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.

Следовательно, существует 1000 уникальных комбинаций для цифровой части номера.

3. Вычисление общего количества автомобильных номеров.

Чтобы найти общее количество возможных автомобильных номеров, нужно умножить количество вариантов для буквенной части на количество вариантов для цифровой части.

Общее количество номеров = (Количество буквенных комбинаций) $\times$ (Количество цифровых комбинаций)

$N = 13\,800 \times 1000 = 13\,800\,000$.

Ответ: 13 800 000.