Номер 1114, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1114, страница 335.

Условие.

1114 Найти член разложения бинома:

1) $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{15}$, содержащий $x^3$;

2) $(\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x})^{14}$, содержащий $x^2$;

3) $(\frac{1}{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[3]{x})^{16}$, содержащий $x^{-\frac{13}{12}};

4) $(\sqrt[5]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{13}$, содержащий $x^{-0.6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения члена разложения бинома $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{15}$, содержащего $x^3$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона:
$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $n$ - степень бинома, а $k$ - номер члена (начиная с $k=0$).
В данном случае, $a = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, $b = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$ и $n=15$.
Подставим эти значения в формулу общего члена:
$T_{k+1} = C_{15}^k (x^{1/3})^{15-k} (x^{-1/3})^k = C_{15}^k x^{\frac{15-k}{3}} x^{\frac{-k}{3}} = C_{15}^k x^{\frac{15-2k}{3}}$.
Мы ищем член, содержащий $x^3$. Для этого приравняем показатель степени $x$ к 3:
$\frac{15-2k}{3} = 3$
$15 - 2k = 9$
$2k = 15 - 9$
$2k = 6$
$k = 3$.
Поскольку $k=3$ является целым числом в диапазоне от 0 до 15, такой член существует. Это будет $(3+1)=4$-й член разложения.
Теперь найдем его коэффициент, вычислив $C_{15}^3$:
$C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 7 \cdot 13 = 455$.
Таким образом, искомый член разложения равен $455x^3$.
Ответ: $455x^3$.

2) Найдем член разложения бинома $(\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x})^{14}$, содержащий $x^2$.
Здесь $a = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, $b = \sqrt{x} = x^{1/2}$ и $n=14$.
Общий член разложения:
$T_{k+1} = C_{14}^k (x^{-1/2})^{14-k} (x^{1/2})^k = C_{14}^k x^{\frac{-(14-k)}{2}} x^{\frac{k}{2}} = C_{14}^k x^{\frac{-14+k+k}{2}} = C_{14}^k x^{\frac{2k-14}{2}} = C_{14}^k x^{k-7}$.
Приравняем показатель степени $x$ к 2:
$k-7 = 2$
$k = 9$.
Значение $k=9$ является допустимым ($0 \le 9 \le 14$). Искомый член - это $(9+1)=10$-й член разложения.
Вычислим коэффициент $C_{14}^9$:
$C_{14}^9 = C_{14}^{14-9} = C_{14}^5 = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 14 \cdot 13 \cdot 11 = 2002$.
Искомый член разложения равен $2002x^2$.
Ответ: $2002x^2$.

3) Найдем член разложения бинома $(\frac{1}{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[3]{x})^{16}$, содержащий $x^{13/12}$.
Здесь $a = \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = x^{-1/4}$, $b = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $n=16$.
Общий член разложения:
$T_{k+1} = C_{16}^k (x^{-1/4})^{16-k} (x^{1/3})^k = C_{16}^k x^{\frac{-(16-k)}{4}} x^{\frac{k}{3}} = C_{16}^k x^{\frac{-3(16-k)+4k}{12}} = C_{16}^k x^{\frac{-48+3k+4k}{12}} = C_{16}^k x^{\frac{7k-48}{12}}$.
Приравняем показатель степени $x$ к $\frac{13}{12}$:
$\frac{7k-48}{12} = \frac{13}{12}$
$7k - 48 = 13$
$7k = 61$
$k = \frac{61}{7}$.
Номер члена $k$ в разложении бинома должен быть целым неотрицательным числом ($k \in \{0, 1, 2, ..., n\}$). Поскольку $k = 61/7$ не является целым числом, в данном разложении нет члена, содержащего $x^{13/12}$.
Ответ: Такого члена в разложении нет.

4) Найдем член разложения бинома $(\sqrt[5]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{13}$, содержащий $x^{-0,6}$.
Сначала представим степень в виде обыкновенной дроби: $-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
В данном случае, $a = \sqrt[5]{x} = x^{1/5}$, $b = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$ и $n=13$.
Общий член разложения:
$T_{k+1} = C_{13}^k (x^{1/5})^{13-k} (x^{-1/3})^k = C_{13}^k x^{\frac{13-k}{5}} x^{\frac{-k}{3}} = C_{13}^k x^{\frac{3(13-k)-5k}{15}} = C_{13}^k x^{\frac{39-3k-5k}{15}} = C_{13}^k x^{\frac{39-8k}{15}}$.
Приравняем показатель степени $x$ к $-\frac{3}{5}$:
$\frac{39-8k}{15} = -\frac{3}{5}$
$39-8k = -\frac{3}{5} \cdot 15$
$39-8k = -9$
$8k = 39 + 9$
$8k = 48$
$k = 6$.
Значение $k=6$ является допустимым ($0 \le 6 \le 13$). Искомый член - это $(6+1)=7$-й член разложения.
Вычислим коэффициент $C_{13}^6$:
$C_{13}^6 = \frac{13!}{6!(13-6)!} = \frac{13!}{6!7!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 11 \cdot 12 = 1716$.
Искомый член разложения равен $1716x^{-3/5}$ или $1716x^{-0,6}$.
Ответ: $1716x^{-0,6}$.