Номер 1113, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1113, страница 335.

Условие.

1113 Записать разложение бинома:

1) $(3a + 1)^5$;

2) $(x + 3)^6$;

3) $\left(x - \frac{1}{3}\right)^7$;

4) $\left(\frac{a}{3} - 1\right)^5$;

5) $(10x - 0,1)^6$;

6) $(0,1b - 10)^7$;

7) $\left(\frac{2}{a} + \frac{a}{2}\right)^7$;

8) $\left(\frac{2}{c} + \frac{c}{2}\right)^8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения всех заданий используется формула бинома Ньютона: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Коэффициенты также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) $(3a + 1)^5$

В данном случае $x = 3a$, $y = 1$ и $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Разложение имеет вид:

$(3a+1)^5 = C_5^0 (3a)^5 \cdot 1^0 + C_5^1 (3a)^4 \cdot 1^1 + C_5^2 (3a)^3 \cdot 1^2 + C_5^3 (3a)^2 \cdot 1^3 + C_5^4 (3a)^1 \cdot 1^4 + C_5^5 (3a)^0 \cdot 1^5$

$= 1 \cdot (243a^5) + 5 \cdot (81a^4) + 10 \cdot (27a^3) + 10 \cdot (9a^2) + 5 \cdot (3a) + 1 \cdot 1$

$= 243a^5 + 405a^4 + 270a^3 + 90a^2 + 15a + 1$

Ответ: $243a^5 + 405a^4 + 270a^3 + 90a^2 + 15a + 1$.

2) $(x + 3)^6$

Здесь $x = x$, $y = 3$ и $n=6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Разложение имеет вид:

$(x+3)^6 = C_6^0 x^6 \cdot 3^0 + C_6^1 x^5 \cdot 3^1 + C_6^2 x^4 \cdot 3^2 + C_6^3 x^3 \cdot 3^3 + C_6^4 x^2 \cdot 3^4 + C_6^5 x^1 \cdot 3^5 + C_6^6 x^0 \cdot 3^6$

$= 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot 3 + 15 \cdot x^4 \cdot 9 + 20 \cdot x^3 \cdot 27 + 15 \cdot x^2 \cdot 81 + 6 \cdot x \cdot 243 + 1 \cdot 1 \cdot 729$

$= x^6 + 18x^5 + 135x^4 + 540x^3 + 1215x^2 + 1458x + 729$

Ответ: $x^6 + 18x^5 + 135x^4 + 540x^3 + 1215x^2 + 1458x + 729$.

3) $(x - \frac{1}{3})^7$

Здесь $x = x$, $y = -\frac{1}{3}$ и $n=7$. Биномиальные коэффициенты для $n=7$ равны 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Знаки членов будут чередоваться.

Разложение имеет вид:

$(x - \frac{1}{3})^7 = C_7^0 x^7 - C_7^1 x^6 (\frac{1}{3})^1 + C_7^2 x^5 (\frac{1}{3})^2 - C_7^3 x^4 (\frac{1}{3})^3 + C_7^4 x^3 (\frac{1}{3})^4 - C_7^5 x^2 (\frac{1}{3})^5 + C_7^6 x^1 (\frac{1}{3})^6 - C_7^7 (\frac{1}{3})^7$

$= 1 \cdot x^7 - 7 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{3} + 21 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{9} - 35 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{27} + 35 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{81} - 21 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{243} + 7 \cdot x \cdot \frac{1}{729} - 1 \cdot \frac{1}{2187}$

$= x^7 - \frac{7}{3}x^6 + \frac{7}{3}x^5 - \frac{35}{27}x^4 + \frac{35}{81}x^3 - \frac{7}{81}x^2 + \frac{7}{729}x - \frac{1}{2187}$

Ответ: $x^7 - \frac{7}{3}x^6 + \frac{7}{3}x^5 - \frac{35}{27}x^4 + \frac{35}{81}x^3 - \frac{7}{81}x^2 + \frac{7}{729}x - \frac{1}{2187}$.

4) $(\frac{a}{3} - 1)^5$

Здесь $x = \frac{a}{3}$, $y = -1$ и $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Знаки членов будут чередоваться.

Разложение имеет вид:

$(\frac{a}{3} - 1)^5 = C_5^0 (\frac{a}{3})^5 - C_5^1 (\frac{a}{3})^4 + C_5^2 (\frac{a}{3})^3 - C_5^3 (\frac{a}{3})^2 + C_5^4 (\frac{a}{3})^1 - C_5^5$

$= 1 \cdot \frac{a^5}{243} - 5 \cdot \frac{a^4}{81} + 10 \cdot \frac{a^3}{27} - 10 \cdot \frac{a^2}{9} + 5 \cdot \frac{a}{3} - 1$

$= \frac{a^5}{243} - \frac{5a^4}{81} + \frac{10a^3}{27} - \frac{10a^2}{9} + \frac{5a}{3} - 1$

Ответ: $\frac{a^5}{243} - \frac{5a^4}{81} + \frac{10a^3}{27} - \frac{10a^2}{9} + \frac{5a}{3} - 1$.

5) $(10x - 0,1)^6$

Здесь $x = 10x$, $y = -0,1$ и $n=6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Знаки членов будут чередоваться.

Разложение имеет вид:

$(10x - 0,1)^6 = C_6^0(10x)^6 - C_6^1(10x)^5(0,1)^1 + C_6^2(10x)^4(0,1)^2 - C_6^3(10x)^3(0,1)^3 + C_6^4(10x)^2(0,1)^4 - C_6^5(10x)^1(0,1)^5 + C_6^6(0,1)^6$

$= 1 \cdot 10^6x^6 - 6 \cdot 10^5x^5 \cdot 10^{-1} + 15 \cdot 10^4x^4 \cdot 10^{-2} - 20 \cdot 10^3x^3 \cdot 10^{-3} + 15 \cdot 10^2x^2 \cdot 10^{-4} - 6 \cdot 10x \cdot 10^{-5} + 1 \cdot 10^{-6}$

$= 1000000x^6 - 60000x^5 + 1500x^4 - 20x^3 + 0,15x^2 - 0,0006x + 0,000001$

Ответ: $1000000x^6 - 60000x^5 + 1500x^4 - 20x^3 + 0,15x^2 - 0,0006x + 0,000001$.

6) $(0,1b - 10)^7$

Здесь $x = 0,1b$, $y = -10$ и $n=7$. Биномиальные коэффициенты для $n=7$ равны 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Знаки членов будут чередоваться.

Разложение имеет вид:

$(0,1b - 10)^7 = C_7^0(0,1b)^7 - C_7^1(0,1b)^6(10)^1 + C_7^2(0,1b)^5(10)^2 - C_7^3(0,1b)^4(10)^3 + C_7^4(0,1b)^3(10)^4 - C_7^5(0,1b)^2(10)^5 + C_7^6(0,1b)^1(10)^6 - C_7^7(10)^7$

$= 1 \cdot 10^{-7}b^7 - 7 \cdot 10^{-6}b^6 \cdot 10 + 21 \cdot 10^{-5}b^5 \cdot 10^2 - 35 \cdot 10^{-4}b^4 \cdot 10^3 + 35 \cdot 10^{-3}b^3 \cdot 10^4 - 21 \cdot 10^{-2}b^2 \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^{-1}b \cdot 10^6 - 1 \cdot 10^7$

$= 10^{-7}b^7 - 7 \cdot 10^{-5}b^6 + 21 \cdot 10^{-3}b^5 - 35 \cdot 10^{-1}b^4 + 35 \cdot 10^1b^3 - 21 \cdot 10^3b^2 + 7 \cdot 10^5b - 10^7$

$= 0,0000001b^7 - 0,00007b^6 + 0,021b^5 - 3,5b^4 + 350b^3 - 21000b^2 + 700000b - 10000000$

Ответ: $0,0000001b^7 - 0,00007b^6 + 0,021b^5 - 3,5b^4 + 350b^3 - 21000b^2 + 700000b - 10000000$.

7) $(\frac{2}{a} + \frac{a}{2})^7$

Здесь $x = \frac{2}{a}$, $y = \frac{a}{2}$ и $n=7$. Биномиальные коэффициенты для $n=7$ равны 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Разложение имеет вид:

$(\frac{2}{a} + \frac{a}{2})^7 = C_7^0(\frac{2}{a})^7 + C_7^1(\frac{2}{a})^6(\frac{a}{2}) + C_7^2(\frac{2}{a})^5(\frac{a}{2})^2 + C_7^3(\frac{2}{a})^4(\frac{a}{2})^3 + C_7^4(\frac{2}{a})^3(\frac{a}{2})^4 + C_7^5(\frac{2}{a})^2(\frac{a}{2})^5 + C_7^6(\frac{2}{a})(\frac{a}{2})^6 + C_7^7(\frac{a}{2})^7$

$= 1 \cdot \frac{128}{a^7} + 7 \cdot \frac{64}{a^6} \frac{a}{2} + 21 \cdot \frac{32}{a^5} \frac{a^2}{4} + 35 \cdot \frac{16}{a^4} \frac{a^3}{8} + 35 \cdot \frac{8}{a^3} \frac{a^4}{16} + 21 \cdot \frac{4}{a^2} \frac{a^5}{32} + 7 \cdot \frac{2}{a} \frac{a^6}{64} + 1 \cdot \frac{a^7}{128}$

$= \frac{128}{a^7} + \frac{224}{a^5} + \frac{168}{a^3} + \frac{70}{a} + \frac{35a}{2} + \frac{21a^3}{8} + \frac{7a^5}{32} + \frac{a^7}{128}$

Ответ: $\frac{128}{a^7} + \frac{224}{a^5} + \frac{168}{a^3} + \frac{70}{a} + \frac{35a}{2} + \frac{21a^3}{8} + \frac{7a^5}{32} + \frac{a^7}{128}$.

8) $(\frac{2}{c} + \frac{c}{2})^8$

Здесь $x = \frac{2}{c}$, $y = \frac{c}{2}$ и $n=8$. Биномиальные коэффициенты для $n=8$: $C_8^0=1, C_8^1=8, C_8^2=28, C_8^3=56, C_8^4=70, C_8^5=56, C_8^6=28, C_8^7=8, C_8^8=1$.

Разложение имеет вид:

$(\frac{2}{c} + \frac{c}{2})^8 = C_8^0(\frac{2}{c})^8 + C_8^1(\frac{2}{c})^7(\frac{c}{2}) + C_8^2(\frac{2}{c})^6(\frac{c}{2})^2 + C_8^3(\frac{2}{c})^5(\frac{c}{2})^3 + C_8^4(\frac{2}{c})^4(\frac{c}{2})^4 + C_8^5(\frac{2}{c})^3(\frac{c}{2})^5 + C_8^6(\frac{2}{c})^2(\frac{c}{2})^6 + C_8^7(\frac{2}{c})(\frac{c}{2})^7 + C_8^8(\frac{c}{2})^8$

$= 1\frac{2^8}{c^8} + 8\frac{2^7}{c^7}\frac{c}{2} + 28\frac{2^6}{c^6}\frac{c^2}{2^2} + 56\frac{2^5}{c^5}\frac{c^3}{2^3} + 70\frac{2^4}{c^4}\frac{c^4}{2^4} + 56\frac{2^3}{c^3}\frac{c^5}{2^5} + 28\frac{2^2}{c^2}\frac{c^6}{2^6} + 8\frac{2}{c}\frac{c^7}{2^7} + 1\frac{c^8}{2^8}$

$= \frac{256}{c^8} + 8\frac{64}{c^6} + 28\frac{16}{c^4} + 56\frac{4}{c^2} + 70 + 56\frac{c^2}{4} + 28\frac{c^4}{16} + 8\frac{c^6}{64} + \frac{c^8}{256}$

$= \frac{256}{c^8} + \frac{512}{c^6} + \frac{448}{c^4} + \frac{224}{c^2} + 70 + 14c^2 + \frac{7c^4}{4} + \frac{c^6}{8} + \frac{c^8}{256}$

Ответ: $\frac{256}{c^8} + \frac{512}{c^6} + \frac{448}{c^4} + \frac{224}{c^2} + 70 + 14c^2 + \frac{7c^4}{4} + \frac{c^6}{8} + \frac{c^8}{256}$.