Номер 998, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 998, страница 296.

Условие.

998 Найти одну из первообразных функции:

1) $\frac{x}{x-3}$;

2) $\frac{x-1}{x^2+x-2}$;

3) $\cos^2 x$;

4) $\sin 3x \cos 5x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти одну из первообразных для функции $f(x) = \frac{x}{x-3}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Для этого преобразуем подынтегральное выражение, выделив целую часть дроби:
$ \frac{x}{x-3} = \frac{(x-3)+3}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{3}{x-3} = 1 + \frac{3}{x-3} $
Теперь находим интеграл:
$ \int \left(1 + \frac{3}{x-3}\right) dx = \int 1 dx + \int \frac{3}{x-3} dx = x + 3\ln|x-3| + C $
Поскольку в задаче требуется найти одну из первообразных, мы можем выбрать любую константу $C$. Самый простой выбор — $C=0$.

Ответ: $F(x) = x + 3\ln|x-3|$.

2) Чтобы найти одну из первообразных для функции $f(x) = \frac{x-1}{x^2+x-2}$, вычислим неопределенный интеграл. Сначала разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2+x-2 = 0$. Его корни: $x_1=1$ и $x_2=-2$.
Таким образом, знаменатель можно представить в виде $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$.
Теперь упростим подынтегральную функцию (при условии, что $x \neq 1$):
$ \frac{x-1}{x^2+x-2} = \frac{x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{x+2} $
Интеграл от упрощенной функции найти легко:
$ \int \frac{1}{x+2} dx = \ln|x+2| + C $
Выберем $C=0$ для получения одной из первообразных.

Ответ: $F(x) = \ln|x+2|$.

3) Чтобы найти одну из первообразных для функции $f(x) = \cos^2 x$, используем формулу понижения степени, которая следует из формулы косинуса двойного угла:
$ \cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} $
Теперь интегрируем это выражение:
$ \int \cos^2 x dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1+\cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx + \int \cos(2x) dx \right) $
$ = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C $
При $C=0$ получаем одну из первообразных.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x)$.

4) Чтобы найти одну из первообразных для функции $f(x) = \sin(3x) \cos(5x)$, воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму:
$ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $
Применив эту формулу, получим:
$ \sin(3x)\cos(5x) = \frac{1}{2}[\sin(3x+5x) + \sin(3x-5x)] = \frac{1}{2}[\sin(8x) + \sin(-2x)] $
Поскольку синус — нечетная функция, $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Таким образом:
$ \sin(3x)\cos(5x) = \frac{1}{2}(\sin(8x) - \sin(2x)) $
Теперь интегрируем полученное выражение:
$ \int \frac{1}{2}(\sin(8x) - \sin(2x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin(8x) dx - \int \sin(2x) dx \right) $
$ = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8}\cos(8x) - \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) \right) + C = -\frac{1}{16}\cos(8x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C $
При $C=0$ получаем одну из первообразных.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\cos(2x) - \frac{1}{16}\cos(8x)$.