Номер 992, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 992, страница 296.

Условие.

992 Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$:

1) $f(x) = 2x + 3$, $M(1; 2);$

2) $f(x) = 4x - 1$, $M(-1; 3);$

3) $f(x) = \sin 2x$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 5\right);$

4) $f(x) = \cos 3x$, $M(0; 0).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $f(x) = 2x + 3$ и точки $M(1; 2)$.

Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (2x + 3) dx = \int 2x dx + \int 3 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(1; 2)$, это означает, что $F(1) = 2$. Подставим значения $x=1$ и $F(x)=2$ в уравнение первообразной, чтобы найти $C$:

$F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2$

$1 + 3 + C = 2$

$4 + C = 2$

$C = 2 - 4 = -2$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^2 + 3x - 2$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$.

2) Для функции $f(x) = 4x - 1$ и точки $M(-1; 3)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$:

$F(x) = \int (4x - 1) dx = \int 4x dx - \int 1 dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = 2x^2 - x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График первообразной проходит через точку $M(-1; 3)$, следовательно $F(-1) = 3$. Подставим значения $x=-1$ и $F(x)=3$:

$F(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + C = 3$

$2 \cdot 1 + 1 + C = 3$

$3 + C = 3$

$C = 3 - 3 = 0$

Искомая первообразная: $F(x) = 2x^2 - x$.

Ответ: $F(x) = 2x^2 - x$.

3) Для функции $f(x) = \sin 2x$ и точки $M(\frac{\pi}{2}; 5)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$:

$F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 5)$, значит $F(\frac{\pi}{2}) = 5$. Подставим значения:

$F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = 5$

$-\frac{1}{2}\cos(\pi) + C = 5$

Поскольку $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$-\frac{1}{2}(-1) + C = 5$

$\frac{1}{2} + C = 5$

$C = 5 - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{9}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{9}{2}$.

4) Для функции $f(x) = \cos 3x$ и точки $M(0; 0)$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$:

$F(x) = \int \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График первообразной проходит через точку $M(0; 0)$, значит $F(0) = 0$. Подставим значения:

$F(0) = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) + C = 0$

$\frac{1}{3}\sin(0) + C = 0$

Поскольку $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{1}{3} \cdot 0 + C = 0$

$C = 0$

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.