Номер 988, страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 55. Правила нахождения первообразных - номер 988, страница 295.

Условие.

988 1) $2x^5 - 3x^2$;

2) $5x^4 + 2x^3$;

3) $\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$;

4) $\frac{2}{x^3} - \frac{3}{x}$;

5) $6x^2 - 4x + 3$;

6) $4\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)Для нахождения всех первообразных для функции $f(x) = 2x^5 - 3x^2$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Обозначим первообразную как $F(x)$.
$F(x) = \int (2x^5 - 3x^2) \,dx$.
Используя свойство линейности интеграла (интеграл разности равен разности интегралов и константу можно выносить за знак интеграла), получаем:
$F(x) = \int 2x^5 \,dx - \int 3x^2 \,dx = 2 \int x^5 \,dx - 3 \int x^2 \,dx$.
Теперь применим табличную формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 2 \cdot \frac{x^6}{6} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C$.
Упростив выражение, получим окончательный вид первообразной:
$F(x) = \frac{1}{3}x^6 - x^3 + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}x^6 - x^3 + C$.

2)Для функции $f(x) = 5x^4 + 2x^3$ найдем ее первообразную $F(x)$ путем вычисления неопределенного интеграла.
$F(x) = \int (5x^4 + 2x^3) \,dx$.
По свойству линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов):
$F(x) = \int 5x^4 \,dx + \int 2x^3 \,dx = 5 \int x^4 \,dx + 2 \int x^3 \,dx$.
Используем формулу интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C$.
После упрощения получаем:
$F(x) = x^5 + \frac{1}{2}x^4 + C$.
Ответ: $F(x) = x^5 + \frac{1}{2}x^4 + C$.

3)Для функции $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$ найдем ее первообразную $F(x)$.
Сначала представим функцию в виде суммы слагаемых со степенями: $f(x) = 2 \cdot x^{-1} + 3 \cdot x^{-2}$.
Первообразная $F(x)$ находится как неопределенный интеграл:
$F(x) = \int (2x^{-1} + 3x^{-2}) \,dx = 2\int x^{-1} \,dx + 3\int x^{-2} \,dx$.
Для первого слагаемого используем табличный интеграл $\int x^{-1} \,dx = \int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C$.
Для второго слагаемого используем формулу для степенной функции: $\int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Объединяя результаты, получаем:
$F(x) = 2\ln|x| + 3 \left(-\frac{1}{x}\right) + C = 2\ln|x| - \frac{3}{x} + C$.
Ответ: $F(x) = 2\ln|x| - \frac{3}{x} + C$.

4)Для функции $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x}$ найдем ее первообразную $F(x)$.
Представим функцию в виде степеней: $f(x) = 2x^{-3} - 3x^{-1}$.
Вычислим неопределенный интеграл:
$F(x) = \int (2x^{-3} - 3x^{-1}) \,dx = 2\int x^{-3} \,dx - 3\int x^{-1} \,dx$.
Для первого слагаемого применим формулу для степенной функции: $\int x^{-3} \,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.
Для второго слагаемого используем формулу для $\frac{1}{x}$: $\int x^{-1} \,dx = \ln|x|$.
Соберем все вместе:
$F(x) = 2\left(-\frac{1}{2x^2}\right) - 3\ln|x| + C = -\frac{1}{x^2} - 3\ln|x| + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^2} - 3\ln|x| + C$.

5)Для многочлена $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$ найдем первообразную $F(x)$.
$F(x) = \int (6x^2 - 4x + 3) \,dx$.
Применяя свойство линейности интеграла:
$F(x) = 6\int x^2 \,dx - 4\int x \,dx + \int 3 \,dx$.
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности, используя формулу для степенной функции (включая $x^1$ и $x^0=1$):
$F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3 \cdot x + C$.
Упрощаем коэффициенты:
$F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.
Ответ: $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.

6)Для функции $f(x) = 4\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x}$ найдем первообразную $F(x)$.
Сначала перепишем функцию, используя степенные показатели: $f(x) = 4x^{1/3} - 6x^{1/2}$.
Теперь найдем интеграл:
$F(x) = \int (4x^{1/3} - 6x^{1/2}) \,dx = 4\int x^{1/3} \,dx - 6\int x^{1/2} \,dx$.
Применим формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ для каждого слагаемого:
$\int x^{1/3} \,dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}$.
$\int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.
Подставим найденные интегралы обратно в выражение для $F(x)$:
$F(x) = 4 \cdot \left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) + C$.
Упростим выражение:
$F(x) = 3x^{4/3} - 4x^{3/2} + C$.
Результат можно также представить в виде корней: $F(x) = 3x\sqrt[3]{x} - 4x\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = 3x^{4/3} - 4x^{3/2} + C$.