Номер 987, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 54. Первообразная - номер 987, страница 293.

Условие.

987 Показать, что функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$ на всей числовой прямой:

1) $F(x) = 3e^{x/3}$, $f(x) = e^{x/3}$;

2) $F(x) = \sin 2x$, $f(x) = 2 \cos 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой, необходимо доказать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$ для всех действительных значений $x$. То есть, должно выполняться равенство $F'(x) = f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$ и $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения константы на функцию и правилом дифференцирования сложной функции. Производная показательной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$.

В нашем случае $u = \frac{x}{3}$, и производная этой внутренней функции равна $u' = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

Тогда производная $F(x)$ будет:

$F'(x) = (3e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot (e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = e^{\frac{x}{3}}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем:

$F'(x) = e^{\frac{x}{3}}$ и $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ на числовой прямой, функция $F(x)$ действительно является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Утверждение доказано, так как $F'(x) = (3e^{\frac{x}{3}})' = e^{\frac{x}{3}} = f(x)$.

2) Даны функции $F(x) = \sin 2x$ и $f(x) = 2 \cos 2x$.

Найдем производную функции $F(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная синуса $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

В данном случае $u = 2x$, и производная этой внутренней функции равна $u' = (2x)' = 2$.

Тогда производная $F(x)$ будет:

$F'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем:

$F'(x) = 2 \cos 2x$ и $f(x) = 2 \cos 2x$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ на числовой прямой, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Утверждение доказано, так как $F'(x) = (\sin 2x)' = 2 \cos 2x = f(x)$.