Номер 2, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя к главе 9 - номер 2, страница 288.

Условие.

2 Найти точки экстремума функции $y=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Для того чтобы найти точки экстремума функции, необходимо найти ее производную, приравнять производную к нулю, найти стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю) и определить, как меняется знак производной при переходе через эти точки.

1. Нахождение области определения функции

Дана функция $y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$. Эта функция определена для всех действительных чисел $x$, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае, знаменатель дроби $\frac{3}{x}$ равен $x$, поэтому $x \neq 0$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции

Найдем первую производную функции $y$ по $x$.

$y' = \left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right)'$

Используем правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = \left(\frac{1}{3}x\right)' + (3x^{-1})' = \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{1}{3} - 3x^{-2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.

Итак, производная функции: $y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.

3. Нахождение стационарных (критических) точек

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0$

$\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0$

$\frac{1}{3} = \frac{3}{x^2}$

Умножим обе части уравнения на $3x^2$ (это возможно, так как $x \neq 0$):

$x^2 = 9$

Из этого уравнения получаем два корня:

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Эти точки являются точками, подозрительными на экстремум. Обе точки принадлежат области определения функции.

4. Определение знаков производной на интервалах

Критические точки $x = -3$ и $x = 3$ вместе с точкой разрыва $x = 0$ делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, +\infty)$.

Определим знак производной $y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2}$ на каждом из этих интервалов. Так как знаменатель $3x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, знак производной совпадает со знаком числителя $x^2 - 9$.

• На интервале $(-\infty, -3)$: возьмем пробную точку $x = -4$. Знак числителя: $(-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0$. Следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

• На интервале $(-3, 0)$: возьмем пробную точку $x = -1$. Знак числителя: $(-1)^2 - 9 = 1 - 9 = -8 < 0$. Следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

• На интервале $(0, 3)$: возьмем пробную точку $x = 1$. Знак числителя: $1^2 - 9 = 1 - 9 = -8 < 0$. Следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

• На интервале $(3, +\infty)$: возьмем пробную точку $x = 4$. Знак числителя: $4^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0$. Следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

5. Определение точек экстремума

Анализируя смену знака производной в критических точках, делаем выводы:

• В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x = -3$ — точка локального максимума.

• В точке $x = 3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x = 3$ — точка локального минимума.

Ответ: Точка максимума $x_{max} = -3$, точка минимума $x_{min} = 3$.