Номер 964, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 964, страница 288.

Условие.

964 Из всех равнобедренных треугольников с периметром $p$ найти треугольник с наибольшей площадью.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи по оптимизации введем обозначения и свяжем площадь треугольника с его сторонами, а затем найдем максимум этой функции.

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $a, a, b$, где $a$ — длина боковой стороны, а $b$ — длина основания. Периметр треугольника $P$ задан и равен $p$. $P = a + a + b = 2a + b = p$.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Найдем высоту $h$, опущенную на основание $b$. Высота в равнобедренном треугольнике является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $b/2$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой $a$ и катетами $h$ и $b/2$: $h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2$ $h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

Тогда формула для площади $S$ выглядит так: $S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} b \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

Чтобы найти максимум, нам нужно выразить площадь как функцию одной переменной. Используем для этого условие постоянства периметра $2a + b = p$. Выразим $a$ через $b$: $a = \frac{p - b}{2}$

Подставим это выражение для $a$ в формулу площади: $S(b) = \frac{1}{2} b \sqrt{\left(\frac{p - b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2} b \sqrt{\frac{p^2 - 2pb + b^2}{4} - \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2} b \sqrt{\frac{p^2 - 2pb}{4}}$ $S(b) = \frac{b}{4} \sqrt{p^2 - 2pb}$

Чтобы найти максимум функции $S(b)$, можно найти максимум ее квадрата $S^2(b)$, так как это избавляет от квадратного корня и упрощает дифференцирование. Функция $S(b)$ положительна, поэтому ее максимум достигается при том же значении $b$, что и максимум ее квадрата. Пусть $f(b) = S^2(b) = \left(\frac{b}{4}\right)^2 (p^2 - 2pb) = \frac{b^2}{16}(p^2 - 2pb) = \frac{p^2 b^2 - 2pb^3}{16}$.

Найдем производную функции $f(b)$ по переменной $b$: $f'(b) = \frac{1}{16}(2p^2 b - 6pb^2) = \frac{2pb}{16}(p - 3b) = \frac{pb}{8}(p - 3b)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $\frac{pb}{8}(p - 3b) = 0$ Так как $p$ (периметр) и $b$ (длина стороны) не могут быть равны нулю, единственным решением является: $p - 3b = 0 \implies b = \frac{p}{3}$

Необходимо убедиться, что это точка максимума. Мы можем использовать вторую производную: $f''(b) = \frac{p}{8}( (p-3b) + b(-3) ) = \frac{p}{8}(p-6b)$ Подставим найденное значение $b = p/3$: $f''(\frac{p}{3}) = \frac{p}{8}(p - 6 \cdot \frac{p}{3}) = \frac{p}{8}(p - 2p) = -\frac{p^2}{8}$ Так как $p > 0$, то $f''(\frac{p}{3}) < 0$, что, согласно тесту второй производной, означает, что при $b = p/3$ функция имеет максимум.

Теперь найдем длину боковой стороны $a$: $a = \frac{p - b}{2} = \frac{p - p/3}{2} = \frac{2p/3}{2} = \frac{p}{3}$

Получается, что все стороны треугольника равны: $a = b = p/3$. Следовательно, равнобедренный треугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является равносторонним.

Ответ: Треугольником с наибольшей площадью является равносторонний треугольник со стороной, равной $p/3$.