Номер 1, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя к главе 9 - номер 1, страница 288.

Условие.

1 Найти интервалы возрастания и убывания функции $y = 6x - 2x^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $y = 6x - 2x^3$ необходимо найти её производную и определить её знак на различных промежутках.

Нахождение производной функции
Первая производная функции $y(x)$ находится по правилам дифференцирования:
$y' = (6x - 2x^3)' = (6x)' - (2x^3)' = 6 - 2 \cdot 3x^2 = 6 - 6x^2$.

Нахождение критических точек
Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Наша производная $y' = 6 - 6x^2$ определена для всех $x$. Приравняем её к нулю:
$6 - 6x^2 = 0$
$6(1 - x^2) = 0$
$1 - x^2 = 0$
$(1 - x)(1 + x) = 0$
Таким образом, критические точки функции: $x = -1$ и $x = 1$.

Определение интервалов монотонности
Критические точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак производной $y'$ на каждом из них.
- На промежутке $(-\infty, -1)$, выберем пробную точку $x = -2$.
$y'(-2) = 6 - 6(-2)^2 = 6 - 24 = -18$. Так как $y' < 0$, функция на этом промежутке убывает.
- На промежутке $(-1, 1)$, выберем пробную точку $x = 0$.
$y'(0) = 6 - 6(0)^2 = 6$. Так как $y' > 0$, функция на этом промежутке возрастает.
- На промежутке $(1, \infty)$, выберем пробную точку $x = 2$.
$y'(2) = 6 - 6(2)^2 = 6 - 24 = -18$. Так как $y' < 0$, функция на этом промежутке убывает.

Поскольку функция $y(x)$ непрерывна на всей действительной оси, мы можем включить концы промежутков (критические точки) в ответ.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.