Номер 960, страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 960, страница 287.

Условие.

960 Построить график функции:

1) $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$;

2) $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для построения графика функции $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + 3(-x)^2 = -\frac{x^3}{3} + 3x^2$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: при $x=0$ получаем $y = \frac{0^3}{3} + 3(0)^2 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
С осью Ox: при $y=0$ получаем $\frac{x^3}{3} + 3x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x}{3} + 3) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ и $\frac{x}{3} + 3 = 0 \implies x_2 = -9$.
Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(-9, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^3}{3} + 3x^2) = \pm\infty$, горизонтальных асимптот нет. Наклонных асимптот также нет, так как $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \infty$.

5. Монотонность и экстремумы.
Найдем первую производную: $y' = (\frac{x^3}{3} + 3x^2)' = x^2 + 6x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $x^2 + 6x = 0 \implies x(x+6) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- На $(-\infty, -6)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(-6, 0)$: $y' < 0$, функция убывает.
- На $(0, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-6$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-6) = \frac{(-6)^3}{3} + 3(-6)^2 = -72 + 108 = 36$. Точка максимума $(-6, 36)$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$. Точка минимума $(0, 0)$.

6. Выпуклость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (x^2 + 6x)' = 2x + 6$.
Приравняем вторую производную к нулю: $2x+6 = 0 \implies x = -3$.
Исследуем знак второй производной:
- На интервале $(-\infty, -3)$ имеем $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- На интервале $(-3, +\infty)$ имеем $y'' > 0$, график функции вогнутый.
Так как в точке $x=-3$ меняется направление выпуклости, это точка перегиба. $y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + 3(-3)^2 = -9 + 27 = 18$. Точка перегиба $(-3, 18)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$ было проведено исследование. График пересекает оси координат в точках $(-9, 0)$ и $(0, 0)$. Функция имеет локальный максимум в точке $(-6, 36)$ и локальный минимум в точке $(0, 0)$. Точка перегиба находится в $(-3, 18)$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$ и убывает на $(-6, 0)$. График является выпуклым вверх на $(-\infty, -3)$ и вогнутым на $(-3, +\infty)$. График представляет собой кубическую параболу, проходящую через указанные ключевые точки.

2)

Для построения графика функции $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -\frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = -\frac{x^4}{4} + x^2 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: при $x=0$ получаем $y = -\frac{0^4}{4} + 0^2 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
С осью Ox: при $y=0$ получаем $-\frac{x^4}{4} + x^2 = 0 \implies x^2(1 - \frac{x^2}{4}) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ и $1 - \frac{x^2}{4} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_{2,3} = \pm 2$.
Точки пересечения: $(0, 0)$, $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет. Так как $\lim_{x \to \pm\infty} (-\frac{x^4}{4} + x^2) = -\infty$, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Монотонность и экстремумы.
Найдем первую производную: $y' = (-\frac{x^4}{4} + x^2)' = -x^3 + 2x$.
Найдем критические точки: $-x^3 + 2x = 0 \implies x(-x^2 + 2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- На $(-\infty, -\sqrt{2})$ и $(0, \sqrt{2})$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
В точках $x=\pm\sqrt{2}$ максимумы: $y_{max} = y(\pm\sqrt{2}) = -\frac{(\pm\sqrt{2})^4}{4} + (\pm\sqrt{2})^2 = -1 + 2 = 1$. Точки максимума $(-\sqrt{2}, 1)$ и $(\sqrt{2}, 1)$.
В точке $x=0$ минимум: $y_{min} = y(0) = 0$. Точка минимума $(0, 0)$.

6. Выпуклость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (-x^3 + 2x)' = -3x^2 + 2$.
Приравняем вторую производную к нулю: $-3x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Исследуем знак второй производной:
- На интервалах $(-\infty, -\sqrt{2/3})$ и $(\sqrt{2/3}, +\infty)$ имеем $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- На интервале $(-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$ имеем $y'' > 0$, график функции вогнутый.
Точки $x = \pm\sqrt{2/3}$ являются точками перегиба. Ординаты этих точек: $y(\pm\sqrt{2/3}) = -\frac{1}{4}(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} = \frac{5}{9}$.
Точки перегиба: $(-\sqrt{2/3}, 5/9)$ и $(\sqrt{2/3}, 5/9)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$ было проведено исследование. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. График пересекает оси координат в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Функция имеет локальные максимумы в точках $(-\sqrt{2}, 1)$ и $(\sqrt{2}, 1)$, и локальный минимум в точке $(0, 0)$. Точки перегиба находятся в $(\pm\sqrt{2/3}, 5/9)$. Функция возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (0, \sqrt{2})$ и убывает на $(-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$. График является выпуклым вверх на $(-\infty, -\sqrt{2/3}) \cup (\sqrt{2/3}, +\infty)$ и вогнутым на $(-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$. График имеет W-образную форму.