Номер 959, страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 959, страница 287.

Условие.

959 Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1) $y = x^5 - 2.5x^2 + 3;$

2) $y = 0.2x^5 - 4x^2 - 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти точки экстремума и значения функции $y = x^5 - 2,5x^2 + 3$ в этих точках, необходимо найти ее производную, найти критические точки и исследовать их.
1. Найдем производную функции:
$y' = (x^5 - 2,5x^2 + 3)' = 5x^4 - 2,5 \cdot 2x = 5x^4 - 5x$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies 5x^4 - 5x = 0$
$5x(x^3 - 1) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $y' > 0$ (например, при $x = -1$, $y'(-1) = 5(-1)^4 - 5(-1) = 10 > 0$), значит, функция возрастает.
- На интервале $(0; 1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x = 0,5$, $y'(0,5) = 5(0,5)^4 - 5(0,5) = 0,3125 - 2,5 = -2,1875 < 0$), значит, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x = 2$, $y'(2) = 5(2)^4 - 5(2) = 70 > 0$), значит, функция возрастает.
4. Определяем точки экстремума. В точке $x = 0$ знак производной меняется с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. В точке $x = 1$ знак производной меняется с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
5. Найдем значения функции в этих точках:
- Значение в точке максимума: $y_{max} = y(0) = 0^5 - 2,5(0)^2 + 3 = 3$.
- Значение в точке минимума: $y_{min} = y(1) = 1^5 - 2,5(1)^2 + 3 = 1 - 2,5 + 3 = 1,5$.
Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$, значение функции в ней $y_{max} = 3$; точка минимума $x_{min} = 1$, значение функции в ней $y_{min} = 1,5$.

2) Аналогично исследуем функцию $y = 0,2x^5 - 4x^2 - 3$.
1. Найдем производную функции:
$y' = (0,2x^5 - 4x^2 - 3)' = 0,2 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 2x = x^4 - 8x$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:
$x^4 - 8x = 0$
$x(x^3 - 8) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $y' > 0$ (например, при $x = -1$, $y'(-1) = (-1)^4 - 8(-1) = 9 > 0$), значит, функция возрастает.
- На интервале $(0; 2)$ производная $y' < 0$ (например, при $x = 1$, $y'(1) = 1^4 - 8(1) = -7 < 0$), значит, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x = 3$, $y'(3) = 3^4 - 8(3) = 57 > 0$), значит, функция возрастает.
4. Определяем точки экстремума. В точке $x = 0$ знак производной меняется с `+` на `-`, что соответствует точке максимума. В точке $x = 2$ знак производной меняется с `-` на `+`, что соответствует точке минимума.
5. Найдем значения функции в точках экстремума:
- Значение в точке максимума: $y_{max} = y(0) = 0,2(0)^5 - 4(0)^2 - 3 = -3$.
- Значение в точке минимума: $y_{min} = y(2) = 0,2(2)^5 - 4(2)^2 - 3 = 0,2 \cdot 32 - 4 \cdot 4 - 3 = 6,4 - 16 - 3 = -12,6$.
Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$, значение функции в ней $y_{max} = -3$; точка минимума $x_{min} = 2$, значение функции в ней $y_{min} = -12,6$.