Номер 948, страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 948, страница 282.

Условие.

948 Из квадратного листа картона со стороной $a$ нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141). Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?

Рис. 141

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть сторона исходного квадратного листа картона равна $a$. Для изготовления коробки по углам листа вырезают квадраты со стороной $x$. После загибания краев получается открытая сверху коробка, у которой высота равна стороне вырезанного квадрата, то есть $h = x$.

Основанием коробки будет квадрат. Длина и ширина этого квадрата будут равны стороне исходного листа за вычетом двух длин вырезанных квадратов. Таким образом, сторона основания коробки будет равна $a - 2x$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$. В нашем случае объем коробки $V$ как функция от $x$ будет:

$V(x) = (a - 2x)(a - 2x)x = (a - 2x)^2 x$

Чтобы найти наибольший объем, нужно исследовать эту функцию на экстремум. Сначала определим область допустимых значений для $x$. Длины всех сторон должны быть положительными, поэтому:

$x > 0$

$a - 2x > 0 \Rightarrow 2x < a \Rightarrow x < \frac{a}{2}$

Таким образом, мы ищем максимум функции $V(x)$ на интервале $(0; \frac{a}{2})$.

Для удобства дифференцирования раскроем скобки в формуле объема:

$V(x) = (a^2 - 4ax + 4x^2)x = a^2x - 4ax^2 + 4x^3$

Найдем производную функции $V(x)$ по переменной $x$:

$V'(x) = (a^2x - 4ax^2 + 4x^3)' = a^2 - 8ax + 12x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$12x^2 - 8ax + a^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем дискриминант:

$D = (-8a)^2 - 4 \cdot 12 \cdot a^2 = 64a^2 - 48a^2 = 16a^2 = (4a)^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{8a + \sqrt{16a^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8a + 4a}{24} = \frac{12a}{24} = \frac{a}{2}$

$x_2 = \frac{8a - \sqrt{16a^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8a - 4a}{24} = \frac{4a}{24} = \frac{a}{6}$

Теперь проанализируем найденные критические точки. Точка $x_1 = \frac{a}{2}$ не входит в наш интервал $(0; \frac{a}{2})$, так как является его границей. При $x = \frac{a}{2}$ объем коробки равен нулю, что очевидно не является максимумом.

Точка $x_2 = \frac{a}{6}$ принадлежит интервалу $(0; \frac{a}{2})$, так как $0 < \frac{a}{6} < \frac{a}{2}$. Это единственная критическая точка внутри области определения, поэтому она является точкой экстремума.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$V''(x) = (a^2 - 8ax + 12x^2)' = -8a + 24x$

Подставим значение $x = \frac{a}{6}$ во вторую производную:

$V''(\frac{a}{6}) = -8a + 24 \cdot (\frac{a}{6}) = -8a + 4a = -4a$

Так как сторона листа $a > 0$, то $V''(\frac{a}{6}) = -4a < 0$. Если вторая производная в критической точке отрицательна, то это точка максимума.

Следовательно, объем коробки будет наибольшим, когда высота коробки $x$ равна $\frac{a}{6}$.

Ответ: Высота коробки должна быть равна $\frac{a}{6}$.