Номер 942, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 942, страница 281.

Условие.

942 Из всех прямоугольников с периметром $p$ найти прямоугольник наибольшей площади.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P$ задан и равен $p$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию: $p = 2(a + b)$

Из этого уравнения выразим одну сторону через другую, например, $b$ через $a$: $a + b = \frac{p}{2}$ $b = \frac{p}{2} - a$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$

Подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить функцию площади $S(a)$, зависящую от одной переменной $a$: $S(a) = a \left(\frac{p}{2} - a\right) = \frac{p}{2}a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + \frac{p}{2}a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицателен). Своего наибольшего значения такая функция достигает в вершине параболы.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $S(a)$ и приравняем ее к нулю. $S'(a) = \left(\frac{p}{2}a - a^2\right)' = \frac{p}{2} - 2a$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $S'(a) = 0$ $\frac{p}{2} - 2a = 0$ $2a = \frac{p}{2}$ $a = \frac{p}{4}$

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, можно найти вторую производную: $S''(a) = \left(\frac{p}{2} - 2a\right)' = -2$

Так как $S''(a) = -2 < 0$, то точка $a = \frac{p}{4}$ является точкой максимума функции площади.

Теперь найдем длину второй стороны $b$: $b = \frac{p}{2} - a = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{2p-p}{4} = \frac{p}{4}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны: $a = b = \frac{p}{4}$. Это означает, что прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является квадратом.

Ответ: Прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре $p$ — это квадрат со стороной $\frac{p}{4}$.