Номер 936, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 9. Применение производной к исследованию функций - номер 936, страница 280.

Условие.

936 Используя график функции (рис. 140), найти её точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения.

a) $y = f(x)$

б) $y = f_1(x)$

в) $y = f_2(x)$

г) $y = f_3(x)$

Рис. 140

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Анализируем график функции $y=f(x)$.
Точки экстремума. Точками экстремума являются абсциссы (координаты $x$) локальных максимумов («вершин») и минимумов («впадин») графика. На графике видим локальный минимум в точке, где $x = -3$, и локальный максимум в точке, где $x = 0$.
Следовательно, точка минимума $x_{min} = -3$, точка максимума $x_{max} = 0$.

Наибольшее и наименьшее значения. Для их нахождения необходимо сравнить значения функции в точках экстремума и на концах отрезка, на котором построен график (приблизительно от $x = -5$ до $x = 2$).
Значение в точке минимума: $f(-3) = -2$.
Значение в точке максимума: $f(0) = 1$.
Значение на левом конце: $f(-5) = 1$.
Значение на правом конце: $f(2) = -1$.
Самое большое из этих значений является наибольшим значением функции: $y_{наиб} = 1$.
Самое маленькое из этих значений является наименьшим значением функции: $y_{наим} = -2$.

Ответ: точки экстремума: $x_{min} = -3$, $x_{max} = 0$; наибольшее значение функции: 1; наименьшее значение функции: -2.

б)

Анализируем график функции $y=f_1(x)$.
Точки экстремума. На графике видим локальный минимум при $x = -1$ и локальный максимум при $x = 1$.
Следовательно, точка минимума $x_{min} = -1$, точка максимума $x_{max} = 1$.

Наибольшее и наименьшее значения. Сравним значения функции в точках экстремума и на концах отрезка (приблизительно от $x = -2$ до $x = 2$).
Значение в точке минимума: $f_1(-1) = -2$.
Значение в точке максимума: $f_1(1) = 2$.
Значение на левом конце: $f_1(-2) = 0$.
Значение на правом конце: $f_1(2) = -3$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = max(2, -2, 0, -3) = 2$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = min(2, -2, 0, -3) = -3$.

Ответ: точки экстремума: $x_{min} = -1$, $x_{max} = 1$; наибольшее значение функции: 2; наименьшее значение функции: -3.

в)

Анализируем график функции $y=f_2(x)$.
Точки экстремума. На графике видим локальный максимум при $x = -2$ и локальный минимум при $x = 2$.
Следовательно, точка максимума $x_{max} = -2$, точка минимума $x_{min} = 2$.

Наибольшее и наименьшее значения. Сравним значения функции в точках экстремума и на концах отрезка (приблизительно от $x = -4$ до $x = 4$).
Значение в точке максимума: $f_2(-2) = 2$.
Значение в точке минимума: $f_2(2) = -2$.
Значение на левом конце: $f_2(-4) = -1$.
Значение на правом конце: $f_2(4) = 2$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = max(2, -2, -1, 2) = 2$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = min(2, -2, -1, 2) = -2$.

Ответ: точки экстремума: $x_{max} = -2$, $x_{min} = 2$; наибольшее значение функции: 2; наименьшее значение функции: -2.

г)

Анализируем график функции $y=f_3(x)$.
Точки экстремума. На графике видим локальный минимум при $x = -1$ и локальный максимум при $x = 1$.
Следовательно, точка минимума $x_{min} = -1$, точка максимума $x_{max} = 1$.

Наибольшее и наименьшее значения. Сравним значения функции в точках экстремума и на концах отрезка (приблизительно от $x = -2$ до $x = 2$).
Значение в точке минимума: $f_3(-1) = -1$.
Значение в точке максимума: $f_3(1) = 2$.
Значение на левом конце: $f_3(-2) = 3$.
Значение на правом конце: $f_3(2) = -2$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = max(2, -1, 3, -2) = 3$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = min(2, -1, 3, -2) = -2$.

Ответ: точки экстремума: $x_{min} = -1$, $x_{max} = 1$; наибольшее значение функции: 3; наименьшее значение функции: -2.