Номер 939, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 939, страница 281.

Условие.

939 Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:

1) $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty);$

2) $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$ на промежутке $(-\infty; 0).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения наименьшего или наибольшего значения функции $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ на открытом промежутке $(0; +\infty)$, мы воспользуемся производной.
Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^2 + 16x^{-2})' = 2x + 16(-2)x^{-3} = 2x - \frac{32}{x^3}$.
Далее, найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю. Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная определена на всем промежутке $(0; +\infty)$.
$f'(x) = 0 \implies 2x - \frac{32}{x^3} = 0$
$2x = \frac{32}{x^3}$
$2x^4 = 32$
$x^4 = 16$
На промежутке $(0; +\infty)$ это уравнение имеет единственный корень $x=2$.
Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=2$ делит заданный промежуток: $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- Для любого $x \in (0; 2)$, например $x=1$, имеем: $f'(1) = 2(1) - \frac{32}{1^3} = 2 - 32 = -30 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
- Для любого $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, имеем: $f'(3) = 2(3) - \frac{32}{3^3} = 6 - \frac{32}{27} > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.
Поскольку в точке $x=2$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Так как это единственная критическая точка на промежутке $(0; +\infty)$, то в ней функция достигает своего наименьшего значения. Наибольшего значения на данном промежутке функция не имеет, так как $\lim_{x\to0+}f(x) = +\infty$ и $\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty$.
Вычислим наименьшее значение функции:
$f_{min} = f(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8$.
Ответ: наименьшее значение функции равно 8.

2) Для нахождения наименьшего или наибольшего значения функции $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$ на промежутке $(-\infty; 0)$, найдем ее производную.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\frac{2}{x} - x^2)' = (2x^{-1} - x^2)' = -2x^{-2} - 2x = -\frac{2}{x^2} - 2x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная определена на всем промежутке $(-\infty; 0)$.
$f'(x) = 0 \implies -\frac{2}{x^2} - 2x = 0$
Умножим обе части на $x^2$ (что допустимо, так как $x \ne 0$):
$-2 - 2x^3 = 0$
$2x^3 = -2$
$x^3 = -1$
Единственным действительным корнем этого уравнения является $x=-1$. Эта точка принадлежит заданному промежутку $(-\infty; 0)$.
Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$.
- Для любого $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$, имеем: $f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^2} - 2(-2) = -\frac{2}{4} + 4 = 3.5 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.
- Для любого $x \in (-1; 0)$, например $x=-0.5$, имеем: $f'(-0.5) = -\frac{2}{(-0.5)^2} - 2(-0.5) = -\frac{2}{0.25} + 1 = -8 + 1 = -7 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
Поскольку в точке $x=-1$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Так как это единственная критическая точка на промежутке $(-\infty; 0)$, то в ней функция достигает своего наибольшего значения. Наименьшего значения на данном промежутке функция не имеет, так как $\lim_{x\to0-}f(x) = -\infty$ и $\lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty$.
Вычислим наибольшее значение функции:
$f_{max} = f(-1) = \frac{2}{-1} - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$.
Ответ: наибольшее значение функции равно -3.