Номер 941, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 941, страница 281.

Условие.

941 Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомые два положительных числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, они должны удовлетворять двум требованиям:

1. Их произведение равно 625: $x \cdot y = 625$.
2. Сумма их квадратов, которую обозначим как $S$, должна быть наименьшей: $S = x^2 + y^2 \rightarrow \min$.

Для решения этой задачи оптимизации необходимо выразить сумму квадратов $S$ как функцию одной переменной. Из первого условия выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{625}{x}$

Поскольку по условию $x$ и $y$ — положительные числа ($x > 0, y > 0$), данное выражение всегда определено для $x > 0$.

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы квадратов $S$:

$S(x) = x^2 + y^2 = x^2 + \left(\frac{625}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{625^2}{x^2} = x^2 + \frac{390625}{x^2}$

Теперь задача сводится к нахождению значения $x > 0$, при котором функция $S(x)$ принимает наименьшее значение. Для этого найдем производную функции $S(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю, чтобы определить критические точки.

$S'(x) = \frac{d}{dx}\left(x^2 + 390625x^{-2}\right) = 2x + 390625 \cdot (-2)x^{-3} = 2x - \frac{781250}{x^3}$

Приравняем производную к нулю:

$S'(x) = 0$

$2x - \frac{781250}{x^3} = 0$

$2x = \frac{781250}{x^3}$

$2x^4 = 781250$

$x^4 = \frac{781250}{2} = 390625$

Для нахождения $x$ извлечем корень четвертой степени. Заметим, что $390625 = 625^2 = (25^2)^2 = 25^4$.

$x^4 = 25^4$

Так как $x$ — положительное число, мы получаем единственное решение:

$x = 25$

Чтобы убедиться, что найденная точка является точкой минимума, исследуем знак второй производной:

$S''(x) = \frac{d}{dx}\left(2x - 781250x^{-3}\right) = 2 - 781250 \cdot (-3)x^{-4} = 2 + \frac{2343750}{x^4}$

Поскольку $x > 0$, то $x^4$ всегда положительно, а значит, и $S''(x)$ всегда больше нуля. Это подтверждает, что в точке $x = 25$ функция $S(x)$ имеет минимум.

Теперь найдем соответствующее значение для второго числа $y$:

$y = \frac{625}{x} = \frac{625}{25} = 25$

Таким образом, искомые числа — это 25 и 25. Их произведение равно $25 \cdot 25 = 625$, а сумма их квадратов $25^2 + 25^2 = 625 + 625 = 1250$ является наименьшей из всех возможных.

Ответ: $625 = 25 \cdot 25$.