Номер 924, страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

924 Построить эскиз графика функции $y = f (x)$, непрерывной на отрезке $[a; b]$, если:

1) $a = -2, b = 4, f (-2) = -2, y = f (x)$ возрастает на отрезке $[-2; 1]$ и $f (x) = x$ при $1 \le x \le 4$;

2) $a = 1, b = 7, f (7) = 1, f (x) = x^2$ при $1 \le x \le 2, y = f (x)$ убывает на промежутке $(2; 7)$.

1) Построим эскиз графика функции $y = f(x)$, непрерывной на отрезке $[a; b]$, где $a=-2$ и $b=4$.

На отрезке $[1; 4]$ функция задана явной формулой $f(x) = x$. Это означает, что на данном отрезке график функции представляет собой отрезок прямой. Найдем координаты ключевых точек этого отрезка:

• конечная точка отрезка $[1; 4]$: $f(4) = 4$. Точка $(4; 4)$.
• точка "стыковки" с другим участком: $f(1) = 1$. Точка $(1; 1)$.

Таким образом, на отрезке $[1; 4]$ график — это отрезок прямой, соединяющий точки $(1; 1)$ и $(4; 4)$.

На отрезке $[-2; 1]$ функция $y = f(x)$ возрастает. Нам даны следующие условия:

• начальная точка всего графика: $f(-2) = -2$. Точка $(-2; -2)$.
• функция непрерывна на всем отрезке $[-2; 4]$, а значит, и в точке $x = 1$. Это означает, что значение функции в этой точке, к которому она стремится слева, должно быть равно ее значению справа. Мы уже знаем, что $f(1)=1$.

Следовательно, на отрезке $[-2; 1]$ график представляет собой любую непрерывную возрастающую кривую, которая соединяет точки $(-2; -2)$ и $(1; 1)$. Для эскиза простейшим вариантом такой кривой является отрезок прямой.

Объединяя оба участка, получаем эскиз графика. Простейшим вариантом будет соединение всех трех ключевых точек $(-2; -2)$, $(1; 1)$ и $(4; 4)$ отрезками прямой, что соответствует графику функции $y = x$ на всем отрезке $[-2; 4]$.

Ответ: Эскиз графика состоит из двух частей. На отрезке $[-2; 1]$ это непрерывная возрастающая кривая, соединяющая точки $(-2; -2)$ и $(1; 1)$. На отрезке $[1; 4]$ это отрезок прямой, соединяющий точки $(1; 1)$ и $(4; 4)$. Простейший эскиз — это график функции $y=x$ на всем отрезке $[-2; 4]$.

2) Построим эскиз графика функции $y = f(x)$, непрерывной на отрезке $[a; b]$, где $a=1$ и $b=7$.

На отрезке $[1; 2]$ функция задана формулой $f(x) = x^2$. Графиком является часть параболы. Найдем координаты ключевых точек этого участка:

• начальная точка всего графика: $f(1) = 1^2 = 1$. Точка $(1; 1)$.
• точка "стыковки": $f(2) = 2^2 = 4$. Точка $(2; 4)$.

Таким образом, на отрезке $[1; 2]$ график — это дуга параболы $y = x^2$, соединяющая точки $(1; 1)$ и $(2; 4)$.

На промежутке $(2; 7]$ функция $y = f(x)$ убывает. Нам даны следующие условия:

• конечная точка всего графика: $f(7) = 1$. Точка $(7; 1)$.
• функция непрерывна на всем отрезке $[1; 7]$, в том числе в точке $x=2$. Значит, график на этом промежутке должен начинаться от точки, где закончился предыдущий участок, то есть от точки $(2; 4)$.

Следовательно, на промежутке $(2; 7]$ график представляет собой любую непрерывную убывающую кривую, которая соединяет точки $(2; 4)$ и $(7; 1)$. Для эскиза простейшим вариантом такой кривой является отрезок прямой.

Объединяя оба участка, получаем эскиз. Он состоит из дуги параболы от $(1; 1)$ до $(2; 4)$ и затем убывающей кривой от $(2; 4)$ до $(7; 1)$.

Ответ: Эскиз графика состоит из двух частей, соединенных в точке $(2; 4)$. Первая часть на отрезке $[1; 2]$ — это дуга параболы $y=x^2$, соединяющая точки $(1; 1)$ и $(2; 4)$. Вторая часть на отрезке $[2; 7]$ — это любая непрерывная убывающая кривая, соединяющая точки $(2; 4)$ и $(7; 1)$ (например, отрезок прямой).