Номер 923, страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 923, страница 275.

Условие.

923 Используя график функции $y = f (x)$ (рис. 136), найти:

1) область определения и множество значений функции;

2) нули функции;

3) промежутки возрастания и убывания функции;

4) значения $x$, при которых функция принимает положительные, отрицательные значения;

5) экстремумы функции.

$y = f (x)$

$y$

$x$

Рис. 136

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

1) область определения и множество значений функции;

Область определения функции $D(f)$ — это проекция графика на ось абсцисс ($Ox$). По графику видно, что функция определена для всех $x$ от -7 до 7 включительно.
Множество значений функции $E(f)$ — это проекция графика на ось ординат ($Oy$). По графику видно, что наименьшее значение функции равно -2 (при $x=-5$), а наибольшее равно 2 (при $x=-2$).
Ответ: область определения $D(f) = [-7; 7]$; множество значений $E(f) = [-2; 2]$.

2) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.
Из графика видно, что график пересекает ось $Ox$ в точках $x = -4$, $x = 0$, $x = 4$ и $x = 6$.
Ответ: -4; 0; 4; 6.

3) промежутки возрастания и убывания функции;

Функция возрастает на тех промежутках, где график идёт вверх при движении слева направо.
Функция убывает на тех промежутках, где график идёт вниз при движении слева направо.
Промежутки возрастания: $[-5; -2]$ и $[2; 5]$.
Промежутки убывания: $[-7; -5]$, $[-2; 2]$ и $[5; 7]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; -2]$ и $[2; 5]$; убывает на промежутках $[-7; -5]$, $[-2; 2]$ и $[5; 7]$.

4) значения $x$, при которых функция принимает положительные, отрицательные значения;

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси $Ox$.
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси $Ox$.
Основываясь на нулях функции, определяем знаки на интервалах.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-4; 0) \cup (4; 6)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in [-7; -4) \cup (0; 4) \cup (6; 7]$.

5) экстремумы функции.

Экстремумы функции — это ее максимальные и минимальные значения. Точки, в которых возрастание сменяется убыванием, являются точками максимума. Точки, в которых убывание сменяется возрастанием, — точками минимума.
Точки максимума: $x = -2$ и $x = 5$.
Максимумы функции (значения в этих точках): $y_{max} = f(-2) = 2$ и $y_{max} = f(5) = 1$.
Точки минимума: $x = -5$ и $x = 2$.
Минимумы функции (значения в этих точках): $y_{min} = f(-5) = -2$ и $y_{min} = f(2) = -1$.
Ответ: точки максимума: $x=-2, x=5$; максимумы функции: $y=2, y=1$. Точки минимума: $x=-5, x=2$; минимумы функции: $y=-2, y=-1$.