Номер 918, страница 270 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 50. Экстремумы функции - номер 918, страница 270.

Условие.

918 Найти критические точки функции:

1) $y = \sqrt{2-3x^2}$;

2) $y = \sqrt{x^3-3x}$;

3) $y = |x-1|$;

4) $y = x^2 - |x| - 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Также к критическим точкам относят граничные точки области определения функции, если они в нее входят.

1) $y = \sqrt{2-3x^2}$

1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - 3x^2 \ge 0$
$3x^2 \le 2$
$x^2 \le \frac{2}{3}$
$-\sqrt{\frac{2}{3}} \le x \le \sqrt{\frac{2}{3}}$
Область определения $D(y) = [-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$.
Точки $x = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ являются граничными точками области определения и, следовательно, критическими.

2. Найдём производную функции:
$y' = (\sqrt{2-3x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2-3x^2}} \cdot (2-3x^2)' = \frac{-6x}{2\sqrt{2-3x^2}} = \frac{-3x}{\sqrt{2-3x^2}}$.

3. Найдём точки, в которых производная равна нулю:
$y' = 0 \implies \frac{-3x}{\sqrt{2-3x^2}} = 0$.
Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$-3x = 0 \implies x = 0$.
Точка $x=0$ принадлежит области определения $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$, значит, это критическая точка.

4. Найдём точки, в которых производная не существует. Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:
$\sqrt{2-3x^2} = 0 \implies 2-3x^2 = 0 \implies x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Эти точки являются граничными точками области определения, мы их уже учли.

Таким образом, все критические точки: $0, -\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $0; -\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) $y = \sqrt{x^3 - 3x}$

1. Найдём область определения функции:
$x^3 - 3x \ge 0$
$x(x^2 - 3) \ge 0$
$x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \ge 0$.
Методом интервалов получаем, что $x \in [-\sqrt{3}, 0] \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.
Граничные точки области определения $x = -\sqrt{3}, x = 0, x = \sqrt{3}$ являются критическими.

2. Найдём производную функции:
$y' = (\sqrt{x^3 - 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^3 - 3x}} \cdot (x^3 - 3x)' = \frac{3x^2 - 3}{2\sqrt{x^3 - 3x}}$.

3. Найдём точки, в которых производная равна нулю:
$y' = 0 \implies \frac{3x^2 - 3}{2\sqrt{x^3 - 3x}} = 0$.
$3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Проверим, принадлежат ли эти точки области определения:
- $x=1$: не принадлежит, так как $1 \notin [-\sqrt{3}, 0] \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.
- $x=-1$: принадлежит, так как $-1 \in [-\sqrt{3}, 0]$.
Следовательно, $x=-1$ является критической точкой.

4. Найдём точки, в которых производная не существует. Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:
$\sqrt{x^3 - 3x} = 0 \implies x^3 - 3x = 0 \implies x = 0, x = \pm\sqrt{3}$.
Эти точки являются граничными, мы их уже учли.

Таким образом, все критические точки: $-\sqrt{3}, -1, 0, \sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; -1; 0; \sqrt{3}$.

3) $y = |x - 1|$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Раскроем модуль:
$y = \begin{cases} x-1, & \text{если } x \ge 1 \\ 1-x, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

3. Найдём производную:
$y' = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 1 \\ -1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

4. Производная нигде не равна нулю.

5. Производная не существует в точке $x=1$, так как производная слева и производная справа в этой точке не равны:
$y'_{-}(1) = -1$, а $y'_{+}(1) = 1$.
Поскольку функция определена в точке $x=1$, эта точка является критической.

Ответ: $1$.

4) $y = x^2 - |x| - 2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Раскроем модуль:
$y = \begin{cases} x^2 - x - 2, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + x - 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

3. Найдём производную:
$y' = \begin{cases} 2x - 1, & \text{если } x > 0 \\ 2x + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

4. Найдём точки, в которых производная равна нулю:
- При $x > 0$: $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$. Эта точка удовлетворяет условию $x > 0$, значит, является критической.
- При $x < 0$: $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$. Эта точка удовлетворяет условию $x < 0$, значит, является критической.

5. Проверим существование производной в точке $x=0$:
$y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} (2x+1) = 1$
$y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} (2x-1) = -1$
Поскольку $y'_{-}(0) \neq y'_{+}(0)$, производная в точке $x=0$ не существует. Так как функция определена в этой точке, $x=0$ является критической точкой.

Таким образом, все критические точки: $-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}$.