Номер 916, страница 270 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 50. Экстремумы функции. Глава 9. Применение производной к исследованию функций - номер 916, страница 270.

916 Имеет ли точки экстремума функция:

1) $y = 2x + 5$;

2) $y = 7 - 5x$;

3) $y = x^3 + 2x$;

4) $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{x}$?

Для того чтобы определить, имеет ли функция точки экстремума, необходимо найти ее производную и критические точки. Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Точка является точкой экстремума (минимума или максимума), если при переходе через нее производная функции меняет свой знак.

1) y = 2x + 5
Это линейная функция, ее область определения — все действительные числа. Найдем производную функции:
$y' = (2x + 5)' = 2$
Производная функции является константой и равна 2. Она никогда не обращается в ноль, поэтому критических точек нет. Поскольку производная всегда положительна ($y' > 0$), функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, у функции нет точек экстремума.
Ответ: нет.

2) y = 7 - 5x
Это также линейная функция, определенная для всех действительных чисел. Найдем ее производную:
$y' = (7 - 5x)' = -5$
Производная постоянна и равна -5. Она никогда не равна нулю, поэтому у функции нет критических точек. Поскольку производная всегда отрицательна ($y' < 0$), функция является строго убывающей на всей своей области определения. Таким образом, у функции нет точек экстремума.
Ответ: нет.

3) y = x³ + 2x
Это кубическая функция, ее область определения — все действительные числа. Найдем производную:
$y' = (x³ + 2x)' = 3x² + 2$
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $3x² + 2 = 0$. Уравнение $3x² = -2$ не имеет действительных корней, так как $x² \geq 0$ для любого действительного числа $x$, и, следовательно, $3x² + 2 \geq 2$. Производная всегда положительна, поэтому функция строго возрастает на всей своей области определения и не имеет точек экстремума.
Ответ: нет.

4) y = x/2 - 1/x
Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Найдем производную:
$y' = (\frac{x}{2} - \frac{1}{x})' = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{x^2}$
Проверим, может ли производная быть равной нулю: $\frac{1}{2} + \frac{1}{x^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как для любого $x$ из области определения $x^2 > 0$, а значит $\frac{1}{x^2} > 0$. Таким образом, производная $y' = \frac{1}{2} + \frac{1}{x^2}$ всегда строго положительна. Это означает, что функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения ($(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$) и не имеет точек экстремума.
Ответ: нет.