Номер 917, страница 270 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 50. Экстремумы функции - номер 917, страница 270.

Условие.

917 Построить эскиз графика непрерывной функции $y = f(x)$, определённой на отрезке $[a; b]$, если:

1) $a = -1$, $b = 7$, $f(-1)=0$, $f(7)=-2$, $f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$, $f'(x) < 0$ при $4 < x < 7$, $f'(4) = 0$;

2) $a = -5$, $b = 4$, $f(-5)=1$, $f(4)=-3$, $f'(x) < 0$ при $-5 < x < -1$, $f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$, $f'(-1) = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для построения эскиза графика функции $y = f(x)$ проанализируем заданные условия на отрезке $[a; b] = [-1; 7]$:

1. Функция является непрерывной на отрезке $[-1; 7]$, следовательно, ее график — это сплошная линия без разрывов.
2. Заданы значения функции на концах отрезка: $f(-1) = 0$ и $f(7) = -2$. Это означает, что график функции проходит через точки с координатами $(-1, 0)$ и $(7, -2)$.
3. Условие $f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$ говорит о том, что на интервале $(-1, 4)$ функция возрастает.
4. Условие $f'(x) < 0$ при $4 < x < 7$ говорит о том, что на интервале $(4, 7)$ функция убывает.
5. Условие $f'(4) = 0$ означает, что в точке $x=4$ у функции есть критическая точка. Поскольку при переходе через эту точку знак производной меняется с «+» на «-», $x=4$ является точкой локального максимума. В этой точке касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Построение эскиза:
1. На координатной плоскости отметим точки $(-1, 0)$ и $(7, -2)$.
2. Из точки $(-1, 0)$ ведем график вверх, так как функция возрастает, до точки с абсциссой $x=4$.
3. В точке $x=4$ функция достигает локального максимума. График имеет вид "вершины холма". Значение функции $f(4)$ должно быть больше, чем $f(-1)=0$ и $f(7)=-2$.
4. После точки $x=4$ график начинает идти вниз, так как функция убывает, и приходит в точку $(7, -2)$.
Таким образом, график представляет собой гладкую кривую, которая поднимается от точки $(-1, 0)$ до своего пика при $x=4$, а затем опускается до точки $(7, -2)$.

Ответ: Эскиз графика — это непрерывная кривая, которая начинается в точке $(-1, 0)$, возрастает до точки локального максимума при $x=4$, а затем убывает до точки $(7, -2)$.

2)

Для построения эскиза графика функции $y = f(x)$ проанализируем заданные условия на отрезке $[a; b] = [-5; 4]$:

1. Функция является непрерывной на отрезке $[-5; 4]$, следовательно, ее график — это сплошная линия.
2. Заданы значения функции на концах отрезка: $f(-5) = 1$ и $f(4) = -3$. Это означает, что график функции проходит через точки с координатами $(-5, 1)$ и $(4, -3)$.
3. Условие $f'(x) < 0$ при $-5 < x < -1$ говорит о том, что на интервале $(-5, -1)$ функция убывает.
4. Условие $f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$ говорит о том, что на интервале $(-1, 4)$ функция возрастает.
5. Условие $f'(-1) = 0$ означает, что в точке $x=-1$ у функции есть критическая точка. Поскольку при переходе через эту точку знак производной меняется с «-» на «+», $x=-1$ является точкой локального минимума. В этой точке касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Построение эскиза:
1. На координатной плоскости отметим точки $(-5, 1)$ и $(4, -3)$.
2. Из точки $(-5, 1)$ ведем график вниз, так как функция убывает, до точки с абсциссой $x=-1$.
3. В точке $x=-1$ функция достигает локального минимума. График имеет вид "впадины". Значение функции $f(-1)$ должно быть меньше, чем $f(-5)=1$ и $f(4)=-3$.
4. После точки $x=-1$ график начинает идти вверх, так как функция возрастает, и приходит в точку $(4, -3)$.
Таким образом, график представляет собой гладкую кривую, которая опускается от точки $(-5, 1)$ до своего минимума при $x=-1$, а затем поднимается до точки $(4, -3)$.

Ответ: Эскиз графика — это непрерывная кривая, которая начинается в точке $(-5, 1)$, убывает до точки локального минимума при $x=-1$, а затем возрастает до точки $(4, -3)$.