Номер 915, страница 270 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 50. Экстремумы функции. Глава 9. Применение производной к исследованию функций - номер 915, страница 270.

915 Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1) $y = x^3 - 3x^2;$

2) $y = x^4 - 8x^2 + 3;$

3) $y = x + \sin x;$

4) $y = 2 \cos x + x.$

1) $y = x^3 - 3x^2$

Для нахождения точек экстремума и значений функции в этих точках, сначала найдем производную функции.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = R$.
$y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Теперь определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- При $x < 0$, например $x=-1$, $y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$. Функция возрастает.
- При $0 < x < 2$, например $x=1$, $y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.
- При $x > 2$, например $x=3$, $y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.
В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
Найдем значения функции в этих точках:
$y_{max} = y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0$.
$y_{min} = y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$, значение функции в этой точке $y_{max} = 0$; точка минимума $x_{min} = 2$, значение функции в этой точке $y_{min} = -4$.

2) $y = x^4 - 8x^2 + 3$

Найдем производную функции. Область определения $D(y) = R$.
$y' = (x^4 - 8x^2 + 3)' = 4x^3 - 16x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x - 2)(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$, $y'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (-2; 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (0; 2)$, например $x=1$, $y'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, $y'(3) = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 > 0$. Функция возрастает.
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка минимума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка минимума.
Найдем значения функции в точках экстремума:
$y_{min} = y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$.
$y_{max} = y(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 3 = 3$.
$y_{min} = y(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$.

Ответ: точки минимума $x_{min} = \pm 2$, значение функции в этих точках $y_{min} = -13$; точка максимума $x_{max} = 0$, значение функции в этой точке $y_{max} = 3$.

3) $y = x + \sin x$

Найдем производную функции. Область определения $D(y) = R$.
$y' = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$1 + \cos x = 0$
$\cos x = -1$
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проанализируем знак производной. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$, то производная $y' = 1 + \cos x$ всегда неотрицательна, то есть $y' \ge 0$.
Производная равна нулю только в критических точках, а в остальных точках она положительна. Это означает, что функция является неубывающей на всей числовой оси. Так как производная не меняет знак при переходе через критические точки, то точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

4) $y = 2 \cos x + x$

Найдем производную функции. Область определения $D(y) = R$.
$y' = (2 \cos x + x)' = -2 \sin x + 1$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-2 \sin x + 1 = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для определения типа экстремума найдем вторую производную:
$y'' = (-2 \sin x + 1)' = -2 \cos x$.
Проверим знак второй производной в критических точках:
- Для точек вида $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$:
$y''(\frac{\pi}{6} + 2\pi k) = -2 \cos(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} < 0$.
Так как вторая производная отрицательна, это точки максимума.
- Для точек вида $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:
$y''(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = -2 \cos(\frac{5\pi}{6}) = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} > 0$.
Так как вторая производная положительна, это точки минимума.
Найдем значения функции в точках экстремума:
- Значения в точках максимума:
$y_{max} = y(\frac{\pi}{6} + 2\pi k) = 2 \cos(\frac{\pi}{6} + 2\pi k) + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
- Значения в точках минимума:
$y_{min} = y(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = 2 \cos(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) + \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, значения функции в них $y_{max} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; точки минимума $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, значения функции в них $y_{min} = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.