Номер 909, страница 265 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 49. Возрастание и убывание функции - номер 909, страница 265.

Условие.

909 При каких значениях $a$ функция $y = ax^3 + 3x^2 - 2x + 5$ убывает на всей числовой прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы функция `y(x)` убывала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее производная `y'(x)` была неположительной для всех действительных значений `x`. То есть, должно выполняться условие `y'(x) \le 0` для всех `x \in \mathbb{R}`.

Сначала найдем производную данной функции `y = ax^3 + 3x^2 - 2x + 5`:

`y'(x) = (ax^3 + 3x^2 - 2x + 5)' = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x - 2 = 3ax^2 + 6x - 2`

Теперь нам необходимо найти такие значения параметра `a`, при которых неравенство `3ax^2 + 6x - 2 \le 0` будет выполняться для любого `x`.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию `f(x) = 3ax^2 + 6x - 2`. Рассмотрим два возможных случая.

1. Случай, когда коэффициент при `x^2` равен нулю.

Если `3a = 0`, то есть `a = 0`, производная становится линейной функцией: `y'(x) = 6x - 2`.Неравенство `6x - 2 \le 0` принимает вид `6x \le 2`, или `x \le 1/3`. Это неравенство выполняется не для всех `x` на числовой прямой, а только для `x \in (-\infty; 1/3]`. Следовательно, значение `a = 0` не удовлетворяет условию задачи.

2. Случай, когда коэффициент при `x^2` не равен нулю.

Если `a \ne 0`, то `y'(x) = 3ax^2 + 6x - 2` — это квадратичная функция, графиком которой является парабола.Чтобы квадратичная функция была неположительной на всей числовой прямой (`y'(x) \le 0` для всех `x`), должны одновременно выполняться два условия:
а) Старший коэффициент должен быть отрицательным, чтобы ветви параболы были направлены вниз.`3a < 0 \implies a < 0`
б) Квадратный трехчлен должен иметь не более одного корня. Это означает, что его дискриминант `D` должен быть неположительным (`D \le 0`).Найдем дискриминант для `3ax^2 + 6x - 2`:`
`D = 6^2 - 4 \cdot (3a) \cdot (-2) = 36 + 24a`
Теперь решим неравенство `D \le 0`:`
`36 + 24a \le 0`
`24a \le -36`
`a \le -\frac{36}{24}`
`a \le -\frac{3}{2}`

Мы получили систему из двух условий для параметра `a`:`
`\begin{cases} a < 0 \\ a \le -3/2 \end{cases}`

Решением этой системы является пересечение двух множеств. Так как условие `a \le -3/2` является более строгим и все значения `a`, удовлетворяющие ему, автоматически удовлетворяют и условию `a < 0`, то окончательным решением является `a \le -3/2`.

Ответ: $a \le -3/2$