Номер 909, страница 265 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

909 При каких значениях $a$ функция $y = ax^3 + 3x^2 - 2x + 5$ убывает на всей числовой прямой?

Для того чтобы функция $y(x)$ убывала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее производная $y'(x)$ была неположительной для всех действительных значений $x$. То есть, должно выполняться условие $y'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Сначала найдем производную данной функции $y = ax^3 + 3x^2 - 2x + 5$:

$y'(x) = (ax^3 + 3x^2 - 2x + 5)' = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x - 2 = 3ax^2 + 6x - 2$

Теперь нам необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых неравенство $3ax^2 + 6x - 2 \le 0$ будет выполняться для любого $x$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = 3ax^2 + 6x - 2$. Рассмотрим два возможных случая.

1. Случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Если $3a = 0$, то есть $a = 0$, производная становится линейной функцией: $y'(x) = 6x - 2$.Неравенство $6x - 2 \le 0$ принимает вид $6x \le 2$, или $x \le 1/3$. Это неравенство выполняется не для всех $x$ на числовой прямой, а только для $x \in (-\infty; 1/3]$. Следовательно, значение $a = 0$ не удовлетворяет условию задачи.

2. Случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Если $a \ne 0$, то $y'(x) = 3ax^2 + 6x - 2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола.Чтобы квадратичная функция была неположительной на всей числовой прямой ($y'(x) \le 0$ для всех $x$), должны одновременно выполняться два условия:
а) Старший коэффициент должен быть отрицательным, чтобы ветви параболы были направлены вниз.$3a < 0 \implies a < 0$
б) Квадратный трехчлен должен иметь не более одного корня. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть неположительным ($D \le 0$).Найдем дискриминант для $3ax^2 + 6x - 2$:
$D = 6^2 - 4 \cdot (3a) \cdot (-2) = 36 + 24a$
Теперь решим неравенство $D \le 0$:
$36 + 24a \le 0$
$24a \le -36$
$a \le -\frac{36}{24}$
$a \le -\frac{3}{2}$

Мы получили систему из двух условий для параметра $a$:
$\begin{cases} a < 0 \\ a \le -3/2 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение двух множеств. Так как условие $a \le -3/2$ является более строгим и все значения $a$, удовлетворяющие ему, автоматически удовлетворяют и условию $a < 0$, то окончательным решением является $a \le -3/2$.

Ответ: $a \le -3/2$