Номер 902, страница 264 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 49. Возрастание и убывание функции - номер 902, страница 264.

Условие.

Найти промежутки возрастания и убывания функции (902–905).

902 1) $y = \frac{1}{x+2}$; 2) $y = 1 + \frac{2}{x}$; 3) $y = -\sqrt{x-3}$; 4) $y = 1 + 3\sqrt{x-5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = \frac{1}{x+2}$ воспользуемся производной.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Далее найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{1}{x+2}\right)' = -\frac{1}{(x+2)^2}$.

Определим знак производной. Выражение $(x+2)^2$ всегда положительно для любого $x$ из области определения (т.к. $x \neq -2$). Следовательно, производная $y' = -\frac{1}{(x+2)^2}$ всегда отрицательна на всей области определения.

Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Значит, функция $y = \frac{1}{x+2}$ убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$; промежутков возрастания нет.

2) Найдем промежутки возрастания и убывания для функции $y = 1 + \frac{2}{x}$.

Область определения функции: знаменатель $x$ не должен быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(1 + \frac{2}{x}\right)' = (1)' + \left(2x^{-1}\right)' = 0 + 2(-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Проанализируем знак производной. Выражение $x^2$ всегда положительно для любого $x \neq 0$. Таким образом, производная $y' = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна на всей области определения.

Так как производная отрицательна, функция убывает на каждом из промежутков, входящих в ее область определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; промежутков возрастания нет.

3) Найдем промежутки возрастания и убывания для функции $y = -\sqrt{x-3}$.

Область определения функции: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Область определения: $D(y) = [3; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(-\sqrt{x-3}\right)' = -\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$.

Производная определена для $x-3 > 0$, то есть при $x > 3$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{x-3}$ всегда положителен. Следовательно, вся дробь $\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$ положительна, а производная $y'$ со знаком минус перед дробью — всегда отрицательна.

Поскольку $y' < 0$ при $x > 3$ и функция непрерывна в точке $x=3$, она убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $[3; +\infty)$; промежутков возрастания нет.

4) Найдем промежутки возрастания и убывания для функции $y = 1+3\sqrt{x-5}$.

Область определения функции: $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$. Область определения: $D(y) = [5; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(1+3\sqrt{x-5}\right)' = (1)' + (3\sqrt{x-5})' = 0 + 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-5}} = \frac{3}{2\sqrt{x-5}}$.

Производная определена для $x-5 > 0$, то есть при $x > 5$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{x-5}$ всегда положителен. Следовательно, производная $y'$ всегда положительна.

Так как $y' > 0$ при $x > 5$ и функция непрерывна в точке $x=5$, она возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[5; +\infty)$; промежутков убывания нет.