Номер 901, страница 264 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 49. Возрастание и убывание функции. Глава 9. Применение производной к исследованию функций - номер 901, страница 264.

901 Построить эскиз графика непрерывной функции $y = f (x)$, определённой на отрезке $[a; b]$, если:

1) $a = 0$, $b = 5$, $f'(x) > 0$ при $0 < x < 5$, $f(1) = 0$, $f(5) = 3$;

2) $a = -1$, $b = 3$, $f'(x) < 0$ при $-1 < x < 3$, $f(0) = 0$, $f(3) = -4$.

1) Проанализируем условия задачи. Функция $y = f(x)$ определена и непрерывна на отрезке $[a, b]$, где $a=0$ и $b=5$. Таким образом, область определения функции — отрезок $[0, 5]$.

Условие $f'(x) > 0$ при $0 < x < 5$ означает, что функция является строго возрастающей на интервале $(0, 5)$. Поскольку функция непрерывна на всём отрезке $[0, 5]$, она строго возрастает на всём этом отрезке. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[0, 5]$ таких, что $x_1 < x_2$, будет выполняться неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Из условий известно, что график функции проходит через точки $(1, 0)$ и $(5, 3)$. Проверим, соответствует ли это свойству возрастания. Так как $1 < 5$, должно выполняться $f(1) < f(5)$. Имеем $f(1)=0$ и $f(5)=3$. Неравенство $0 < 3$ верно, значит, условия непротиворечивы.

Теперь определим значения или хотя бы знак функции на концах отрезка. В точке $x=5$ значение функции известно: $f(5) = 3$. В точке $x=0$, исходя из того, что $0 < 1$ и функция возрастает, должно выполняться неравенство $f(0) < f(1)$. Так как $f(1) = 0$, получаем $f(0) < 0$. Это означает, что график начинается в точке $(0, y_0)$, где $y_0$ — некоторое отрицательное число.

Для построения эскиза графика нужно:
1. Нанести на координатную плоскость точки $(1, 0)$ и $(5, 3)$.
2. Выбрать начальную точку на оси ординат ниже оси абсцисс, например, $(0, -1)$.
3. Провести из начальной точки через точку $(1, 0)$ к конечной точке $(5, 3)$ гладкую, непрерывную кривую, которая на всем своем протяжении возрастает (поднимается слева направо). График должен быть построен только в пределах отрезка $x \in [0, 5]$.

Так как вторая производная не задана, кривая может быть как выпуклой, так и вогнутой, или менять направление выпуклости. Простейший эскиз — это ломаная, соединяющая точки $(0, f(0))$, $(1, 0)$ и $(5, 3)$ отрезками.
Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную кривую, которая определена на отрезке $[0, 5]$, начинается в точке на отрицательной полуоси $y$ (например, $(0, -1)$), проходит через точку $(1, 0)$, заканчивается в точке $(5, 3)$ и монотонно возрастает на всей своей области определения.

2) Проанализируем условия для второго случая. Функция $y = f(x)$ определена и непрерывна на отрезке $[a, b]$, где $a=-1$ и $b=3$. Область определения функции — отрезок $[-1, 3]$.

Условие $f'(x) < 0$ при $-1 < x < 3$ означает, что функция является строго убывающей на интервале $(-1, 3)$. Так как функция непрерывна на отрезке $[-1, 3]$, она строго убывает на всём этом отрезке. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[-1, 3]$ таких, что $x_1 < x_2$, будет выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Из условий известно, что график функции проходит через точки $(0, 0)$ и $(3, -4)$. Проверим это на соответствие свойству убывания. Так как $0 < 3$, должно выполняться $f(0) > f(3)$. Имеем $f(0)=0$ и $f(3)=-4$. Неравенство $0 > -4$ верно, так что условия согласуются.

Определим поведение функции на концах отрезка. В точке $x=3$ значение функции $f(3) = -4$. В точке $x=-1$, исходя из того, что $-1 < 0$ и функция убывает, должно выполняться неравенство $f(-1) > f(0)$. Так как $f(0) = 0$, получаем $f(-1) > 0$. Это означает, что график начинается в точке $(-1, y_0)$, где $y_0$ — некоторое положительное число.

Для построения эскиза графика нужно:
1. Нанести на координатную плоскость точки $(0, 0)$ (начало координат) и $(3, -4)$.
2. Выбрать начальную точку $(-1, y_0)$ так, чтобы её ордината была положительной, например, можно взять точку $(-1, 1)$ или $(-1, 2)$.
3. Провести из начальной точки $(-1, y_0)$ через начало координат к конечной точке $(3, -4)$ гладкую, непрерывную кривую, которая на всем своем протяжении убывает (опускается слева направо). График должен быть построен только в пределах отрезка $x \in [-1, 3]$.

Конкретный вид кривой не задан, поэтому она может быть любой, удовлетворяющей условиям.
Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную кривую, которая определена на отрезке $[-1, 3]$, начинается в точке $(-1, y_0)$, где $y_0 > 0$ (например, $(-1, 2)$), проходит через начало координат $(0, 0)$, заканчивается в точке $(3, -4)$ и монотонно убывает на всей области определения.