Номер 905, страница 264 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 49. Возрастание и убывание функции. Глава 9. Применение производной к исследованию функций - номер 905, страница 264.

905 1) $y = x - \sin 2x;$

2) $y = 3x + 2 \cos 3x.$

1) Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $y = x - \sin 2x$, необходимо исследовать знак ее производной.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Находим производную функции по правилам дифференцирования:
$y' = (x - \sin 2x)' = (x)' - (\sin 2x)' = 1 - \cos(2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\cos 2x$.
Далее находим критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как производная определена на всей числовой оси, ищем точки, где $y' = 0$:
$1 - 2\cos 2x = 0$
$2\cos 2x = 1$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
Решениями этого тригонометрического уравнения являются:
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив на 2, получаем критические точки:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Определим знак $y'$ на этих интервалах.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
$1 - 2\cos 2x > 0 \implies 1 > 2\cos 2x \implies \cos 2x < \frac{1}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда аргумент $2x$ находится в интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$.
Следовательно, для $x$ имеем: $\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$.
Функция убывает, когда $y' < 0$:
$1 - 2\cos 2x < 0 \implies 1 < 2\cos 2x \implies \cos 2x > \frac{1}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда аргумент $2x$ находится в интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$.
Следовательно, для $x$ имеем: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Таким образом, мы определили промежутки монотонности функции.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n]$ и убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $y = 3x + 2\cos 3x$, необходимо исследовать знак ее производной.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Находим производную функции по правилам дифференцирования:
$y' = (3x + 2\cos 3x)' = (3x)' + (2\cos 3x)' = 3 + 2(-\sin 3x) \cdot (3x)' = 3 - 6\sin 3x$.
Далее находим критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.
$3 - 6\sin 3x = 0$
$6\sin 3x = 3$
$\sin 3x = \frac{1}{2}$
Решениями этого тригонометрического уравнения являются:
$3x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив на 3, получаем критические точки:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы. Определим знак $y'$ на этих интервалах.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
$3 - 6\sin 3x > 0 \implies 3 > 6\sin 3x \implies \sin 3x < \frac{1}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда аргумент $3x$ находится в интервалах $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$.
Следовательно, для $x$ имеем: $\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{13\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$.
Функция убывает, когда $y' < 0$:
$3 - 6\sin 3x < 0 \implies 3 < 6\sin 3x \implies \sin 3x > \frac{1}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда аргумент $3x$ находится в интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$.
Следовательно, для $x$ имеем: $\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$.
Таким образом, мы определили промежутки монотонности функции.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{13\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}]$, где $n \in \mathbb{Z}$.