Номер 900, страница 264 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 49. Возрастание и убывание функции - номер 900, страница 264.

Условие.

900 Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = x^2 - x;$

2) $y = 5x^2 - 3x - 1;$

3) $y = x^2 + 2x;$

4) $y = x^2 + 12x - 100;$

5) $y = x^3 - 3x;$

6) $y = x^4 - 2x^2;$

7) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40;$

8) $y = x^3 - 6x^2 + 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = x^2 - x$

Для нахождения промежутков монотонности функции, найдем ее производную: $y' = (x^2 - x)' = 2x - 1$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $2x - 1 = 0$, откуда $x = 0.5$.

Критическая точка $x = 0.5$ делит числовую ось на два интервала. Определим знак производной на каждом из них:

На промежутке $(-\infty; 0.5)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $y'(0)=-1$), следовательно, функция убывает.

На промежутке $(0.5; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=1$, $y'(1)=1$), следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и возрастает на промежутке $[0.5; +\infty)$.

2) $y = 5x^2 - 3x - 1$

Находим производную функции: $y' = (5x^2 - 3x - 1)' = 10x - 3$.

Находим критические точки: $10x - 3 = 0$, откуда $x = 0.3$.

Определяем знаки производной на интервалах, на которые числовую ось делит точка $x=0.3$:

На промежутке $(-\infty; 0.3)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $y'(0)=-3$), значит, функция убывает.

На промежутке $(0.3; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=1$, $y'(1)=7$), значит, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.3]$ и возрастает на промежутке $[0.3; +\infty)$.

3) $y = x^2 + 2x$

Находим производную функции: $y' = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$.

Находим критические точки: $2x + 2 = 0$, откуда $x = -1$.

Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$:

На промежутке $(-\infty; -1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2)=-2$), следовательно, функция убывает.

На промежутке $(-1; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=0$, $y'(0)=2$), следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

4) $y = x^2 + 12x - 100$

Находим производную функции: $y' = (x^2 + 12x - 100)' = 2x + 12$.

Находим критические точки: $2x + 12 = 0$, откуда $x = -6$.

Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -6)$ и $(-6; +\infty)$:

На промежутке $(-\infty; -6)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-7$, $y'(-7)=-2$), значит, функция убывает.

На промежутке $(-6; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=0$, $y'(0)=12$), значит, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -6]$ и возрастает на промежутке $[-6; +\infty)$.

5) $y = x^3 - 3x$

Находим производную функции: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

Находим критические точки: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2=1$, откуда $x = -1$ и $x = 1$.

Критические точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

На промежутке $(-\infty; -1)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2)=9$), функция возрастает.

На промежутке $(-1; 1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $y'(0)=-3$), функция убывает.

На промежутке $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=2$, $y'(2)=9$), функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 1]$.

6) $y = x^4 - 2x^2$

Находим производную функции: $y' = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$.

Находим критические точки: $4x(x^2 - 1) = 0$, откуда $x = 0$, $x = -1$, $x = 1$.

Критические точки делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

На промежутке $(-\infty; -1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2)=-24$), функция убывает.

На промежутке $(-1; 0)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=-0.5$, $y'(-0.5)=1.5$), функция возрастает.

На промежутке $(0; 1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0.5$, $y'(0.5)=-1.5$), функция убывает.

На промежутке $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=2$, $y'(2)=24$), функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

7) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$

Находим производную функции: $y' = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 40)' = 6x^2 - 6x - 36$.

Находим критические точки, решив уравнение $6x^2 - 6x - 36 = 0$. Делим на 6: $x^2 - x - 6 = 0$. Корни этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант) $x = -2$ и $x = 3$.

Критические точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

На промежутке $(-\infty; -2)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=-3$, $y'(-3)=36$), функция возрастает.

На промежутке $(-2; 3)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $y'(0)=-36$), функция убывает.

На промежутке $(3; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=4$, $y'(4)=36$), функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 3]$.

8) $y = x^3 - 6x^2 + 9$

Находим производную функции: $y' = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x$.

Находим критические точки: $3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0$, откуда $x = 0$ и $x = 4$.

Критические точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.

На промежутке $(-\infty; 0)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=-1$, $y'(-1)=15$), функция возрастает.

На промежутке $(0; 4)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=1$, $y'(1)=-9$), функция убывает.

На промежутке $(4; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=5$, $y'(5)=15$), функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 4]$.