Номер 893, страница 260 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 893, страница 260.

Условие.

893 Выяснить, при каких значениях $p$ касательная, проведённая к графику функции $y = x^3 - px$ в его точке с абсциссой $x_0 = 1$, проходит через точку $M (2; 3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти значение параметра $p$, необходимо составить уравнение касательной к графику функции $y = x^3 - px$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$. Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдём значение функции в точке касания $x_0 = 1$:
$f(1) = 1^3 - p \cdot 1 = 1 - p$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - px)' = 3x^2 - p$.

3. Найдём значение производной в точке касания $x_0 = 1$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - p = 3 - p$.

4. Подставим найденные значения $f(1)$ и $f'(1)$ в общее уравнение касательной:
$y = (1 - p) + (3 - p)(x - 1)$.

По условию задачи, касательная проходит через точку $M(2; 3)$. Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = 2$ и $y = 3$ в полученное уравнение:

$3 = (1 - p) + (3 - p)(2 - 1)$

Теперь решим это уравнение относительно $p$:
$3 = 1 - p + (3 - p) \cdot 1$
$3 = 1 - p + 3 - p$
$3 = 4 - 2p$
$2p = 4 - 3$
$2p = 1$
$p = 0.5$

Ответ: $p=0.5$.