Номер 891, страница 260 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 891, страница 260.

Условие.

891 Прямая касается гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в точке $(1; 4)$. Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти площадь треугольника, ограниченного касательной и осями координат, нам необходимо сначала найти уравнение этой касательной.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В данной задаче функция $f(x) = \frac{4}{x}$, а точка касания — $(1; 4)$. Следовательно, $x_0 = 1$ и $f(x_0) = 4$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{4}{x}\right)' = (4x^{-1})' = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$

Затем вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 1$:

$f'(1) = -\frac{4}{1^2} = -4$

Теперь мы можем подставить найденные значения в уравнение касательной:

$y = 4 + (-4)(x - 1)$

$y = 4 - 4x + 4$

$y = -4x + 8$

Уравнение касательной найдено: $y = -4x + 8$.

Далее найдем точки, в которых эта касательная пересекает оси координат. Эти точки вместе с началом координат образуют искомый прямоугольный треугольник.

Пересечение с осью ординат (осью $y$): для этого положим $x = 0$ в уравнении прямой.

$y = -4(0) + 8 = 8$

Таким образом, касательная пересекает ось $y$ в точке $(0; 8)$. Длина одного из катетов треугольника равна 8.

Пересечение с осью абсцисс (осью $x$): для этого положим $y = 0$ в уравнении прямой.

$0 = -4x + 8$

$4x = 8$

$x = 2$

Таким образом, касательная пересекает ось $x$ в точке $(2; 0)$. Длина второго катета треугольника равна 2.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле половины произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставим длины катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$

Ответ: 8