Номер 897, страница 260 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 897, страница 260.

Условие.

897 Найти общие касательные к графикам функций $f(x) = x^2 - 4x + 3$ и $g(x) = -x^2 + 6x - 10$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть уравнение общей касательной имеет вид $y = kx + b$.

Эта прямая должна быть касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ в некоторой точке с абсциссой $x_1$ и к графику функции $g(x) = -x^2 + 6x - 10$ в некоторой точке с абсциссой $x_2$.

Условие касания прямой $y = kx + b$ и графика функции $h(x)$ в точке $x_0$ заключается в одновременном выполнении двух равенств:

$ \begin{cases} h(x_0) = kx_0 + b & \text{(значения функции и прямой в точке касания совпадают)} \\ h'(x_0) = k & \text{(угловые коэффициенты касательной и прямой равны)} \end{cases} $

Найдем производные заданных функций:

$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$

$g'(x) = (-x^2 + 6x - 10)' = -2x + 6$

Теперь составим систему уравнений, исходя из условий касания для обеих функций.

Для функции $f(x)$ в точке $x_1$:

$k = f'(x_1) = 2x_1 - 4$

Из условия $f(x_1) = kx_1 + b$ выразим $b$:

$b = f(x_1) - kx_1 = (x_1^2 - 4x_1 + 3) - (2x_1 - 4)x_1 = x_1^2 - 4x_1 + 3 - 2x_1^2 + 4x_1 = -x_1^2 + 3$

Для функции $g(x)$ в точке $x_2$:

$k = g'(x_2) = -2x_2 + 6$

Из условия $g(x_2) = kx_2 + b$ выразим $b$:

$b = g(x_2) - kx_2 = (-x_2^2 + 6x_2 - 10) - (-2x_2 + 6)x_2 = -x_2^2 + 6x_2 - 10 + 2x_2^2 - 6x_2 = x_2^2 - 10$

Поскольку касательная общая, ее параметры $k$ и $b$ должны быть одинаковыми. Приравняем полученные выражения для $k$ и для $b$:

$ \begin{cases} 2x_1 - 4 = -2x_2 + 6 & (1) \\ -x_1^2 + 3 = x_2^2 - 10 & (2) \end{cases} $

Решим эту систему. Из уравнения (1) упростим и выразим $x_2$ через $x_1$:

$2x_1 + 2x_2 = 10$

$x_1 + x_2 = 5$

$x_2 = 5 - x_1$

Подставим это выражение для $x_2$ в уравнение (2):

$-x_1^2 + 3 = (5 - x_1)^2 - 10$

$-x_1^2 + 3 = 25 - 10x_1 + x_1^2 - 10$

$-x_1^2 + 3 = x_1^2 - 10x_1 + 15$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$2x_1^2 - 10x_1 + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x_1^2 - 5x_1 + 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x_1$. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Следовательно, корни: $x_1 = 2$ и $x_1 = 3$.

Наличие двух различных значений для $x_1$ означает, что существуют две общие касательные. Найдем уравнение для каждой из них.

Случай 1: $x_1 = 2$

Найдем параметры $k$ и $b$ для первой касательной, используя выражения, полученные для $f(x)$:

$k = 2x_1 - 4 = 2 \cdot 2 - 4 = 0$

$b = -x_1^2 + 3 = -(2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$

Уравнение первой общей касательной: $y = 0 \cdot x - 1$, то есть $y = -1$.

Случай 2: $x_1 = 3$

Найдем параметры $k$ и $b$ для второй касательной:

$k = 2x_1 - 4 = 2 \cdot 3 - 4 = 2$

$b = -x_1^2 + 3 = -(3)^2 + 3 = -9 + 3 = -6$

Уравнение второй общей касательной: $y = 2x - 6$.

Ответ: $y = -1$ и $y = 2x - 6$.