Номер 895, страница 260 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 895, страница 260.

Условие.

895 Найти расстояние от начала координат до той касательной к графику функции $y = x \ln x$, которая параллельна оси абсцисс.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения касательной к графику функции $y = x \ln x$, которая параллельна оси абсцисс, необходимо найти точку, в которой производная функции равна нулю. Угловой коэффициент касательной, параллельной оси абсцисс (оси Ox), равен 0.

1. Найдем производную функции $y(x) = x \ln x$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$y'(x_0) = 0$
$\ln x_0 + 1 = 0$
$\ln x_0 = -1$
$x_0 = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

3. Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:
$y_0 = x_0 \ln x_0 = \frac{1}{e} \ln\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \ln(e^{-1}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$.

4. Таким образом, точка касания имеет координаты $\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)$. Касательная, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной прямой. Ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината точки касания.
Уравнение искомой касательной: $y = -\frac{1}{e}$.

5. Расстояние от начала координат (точки $O(0, 0)$) до горизонтальной прямой $y = c$ равно $|c|$. В нашем случае $c = -\frac{1}{e}$.
Следовательно, расстояние $d$ от начала координат до касательной $y = -\frac{1}{e}$ равно:
$d = \left|-\frac{1}{e}\right| = \frac{1}{e}$.

Ответ: $\frac{1}{e}$