Номер 906, страница 265 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 49. Возрастание и убывание функции - номер 906, страница 265.

Условие.

906 Изобразить эскиз графика непрерывной функции $y = f(x)$, определённой на отрезке $[a; b]$, если:

1) $a = -2, b = 6, f(-2)=1, f(6)=5, f(3)=0, f'(3)=0, f'(x) < 0$ при $-2 < x < 3$, $f'(x) > 0$ при $3 < x < 6;$

2) $a = -3, b = 3, f(-3)=-1, f(3)=4, f'(2)=0, f'(x) < 0$ при $-3 < x < 2$, $f'(x) > 0$ при $2 < x < 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для построения эскиза графика функции $y = f(x)$ проанализируем заданные условия:

• Функция непрерывна на отрезке $[-2, 6]$.
• Заданы значения функции в трех точках: $f(-2) = 1$, $f(3) = 0$ и $f(6) = 5$. Это означает, что график проходит через точки $(-2, 1)$, $(3, 0)$ и $(6, 5)$.
• Производная $f'(x) < 0$ при $x \in (-2, 3)$. Это означает, что на интервале $(-2, 3)$ функция убывает.
• Производная $f'(x) > 0$ при $x \in (3, 6)$. Это означает, что на интервале $(3, 6)$ функция возрастает.
• Производная $f'(3) = 0$. Это означает, что в точке $x = 3$ касательная к графику горизонтальна. Поскольку в этой точке функция меняет характер монотонности с убывания на возрастание, точка $x = 3$ является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке равно $f(3) = 0$.

Сведем все данные воедино для построения эскиза:

1. Отмечаем на координатной плоскости точки $(-2, 1)$, $(3, 0)$ и $(6, 5)$.
2. График начинается в точке $(-2, 1)$.
3. Поскольку на интервале $(-2, 3)$ функция убывает, ведем из точки $(-2, 1)$ гладкую кривую вниз.
4. В точке $(3, 0)$ кривая достигает своего локального минимума. Касательная в этой точке горизонтальна, поэтому график здесь имеет плавный изгиб.
5. После точки $(3, 0)$ функция начинает возрастать на интервале $(3, 6)$, поэтому кривая идет вверх до точки $(6, 5)$, где и заканчивается.

В результате получается гладкая непрерывная кривая, напоминающая параболу, ветви которой направлены вверх.

Ответ: Эскиз представляет собой гладкую непрерывную кривую, которая начинается в точке $(-2, 1)$, убывает до точки локального минимума $(3, 0)$, где касательная к графику горизонтальна, а затем возрастает до конечной точки $(6, 5)$.

2)

Для построения эскиза графика функции $y = f(x)$ проанализируем заданные условия:

• Функция непрерывна на отрезке $[-3, 3]$.
• Заданы значения функции на концах отрезка: $f(-3) = -1$ и $f(3) = 4$. Это означает, что график начинается в точке $(-3, -1)$ и заканчивается в точке $(3, 4)$.
• Производная $f'(x) < 0$ при $x \in (-3, 2)$. Это означает, что на интервале $(-3, 2)$ функция убывает.
• Производная $f'(x) > 0$ при $x \in (2, 3)$. Это означает, что на интервале $(2, 3)$ функция возрастает.
• Производная $f'(2) = 0$. Это означает, что в точке $x = 2$ касательная к графику горизонтальна. Так как в этой точке функция меняет характер монотонности с убывания на возрастание, точка $x = 2$ является точкой локального минимума.

Определим свойство значения функции в точке минимума. Поскольку функция непрерывна и убывает на отрезке $[-3, 2]$, то $f(2) < f(-3)$. Подставляя известное значение, получаем $f(2) < -1$. Точное значение $f(2)$ не задано, но для эскиза достаточно учесть это неравенство.

Сведем все данные воедино для построения эскиза:

1. Отмечаем на координатной плоскости начальную точку $(-3, -1)$ и конечную точку $(3, 4)$.
2. График начинается в точке $(-3, -1)$.
3. Поскольку на интервале $(-3, 2)$ функция убывает, ведем из точки $(-3, -1)$ гладкую кривую вниз.
4. При $x=2$ кривая достигает своего локального минимума. Ордината этой точки $f(2)$ должна быть меньше $-1$. Для эскиза можно выбрать любую подходящую точку, например, $(2, -2)$. В этой точке касательная горизонтальна.
5. После точки минимума $(2, f(2))$ функция начинает возрастать на интервале $(2, 3)$, поэтому кривая идет вверх до конечной точки $(3, 4)$.

Ответ: Эскиз представляет собой гладкую непрерывную кривую, которая начинается в точке $(-3, -1)$, убывает до точки локального минимума при $x=2$ (причем значение функции в этой точке $f(2) < -1$) с горизонтальной касательной, а затем возрастает до конечной точки $(3, 4)$.