Номер 925, страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 925, страница 275.

Условие.

925 На отрезке $ [0; 6] $ изобразить эскиз графика непрерывной функции $ y = f (x) $, пользуясь данными, приведёнными в таблице. Учесть, что $ f (2) = 0, f (5) = 0 $.

$ x $: $ 0 $, $ 0 < x < 1 $, $ 1 $, $ 1 < x < 4 $, $ 4 $, $ 4 < x < 6 $, $ 6 $

$ f'(x) $: , $ + $, $ 0 $, $ - $, $ 0 $, $ + $,

$ f(x) $: $ 0 $, $ \nearrow $, $ 2 $, $ \searrow $, $ -2 $, $ \nearrow $, $ 3 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения эскиза графика функции $y = f(x)$ на отрезке $[0; 6]$ проанализируем данные, представленные в таблице, а также дополнительную информацию о том, что функция непрерывна и что $f(2) = 0$ и $f(5) = 0$.

1. Анализ данных и определение ключевых точек

• При $x = 0$, значение функции $f(0) = 0$. Это начальная точка графика – $(0; 0)$.
• На интервале $(0; 1)$ производная $f'(x) > 0$ (знак "+"), следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• При $x = 1$, значение функции $f(1) = 2$, а производная $f'(1) = 0$. Поскольку до $x=1$ функция возрастала, а после (как мы увидим далее) будет убывать, точка $(1; 2)$ является точкой локального максимума.
• На интервале $(1; 4)$ производная $f'(x) < 0$ (знак "−"), следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• Из условия задачи известно, что $f(2) = 0$. Это означает, что график функции пересекает ось абсцисс в точке $(2; 0)$.
• При $x = 4$, значение функции $f(4) = -2$, а производная $f'(4) = 0$. Поскольку до $x=4$ функция убывала, а после будет возрастать, точка $(4; -2)$ является точкой локального минимума.
• На интервале $(4; 6)$ производная $f'(x) > 0$ (знак "+"), следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• Из условия задачи известно, что $f(5) = 0$. Это еще одна точка пересечения с осью абсцисс – $(5; 0)$.
• При $x = 6$, значение функции $f(6) = 3$. Это конечная точка графика на заданном отрезке – $(6; 3)$.

2. Построение эскиза графика

Основываясь на проведенном анализе, построим эскиз графика функции. Для этого:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, которые мы определили: $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(2; 0)$, $(4; -2)$, $(5; 0)$ и $(6; 3)$.
2. Соединим эти точки плавной непрерывной линией, учитывая характер монотонности функции на каждом интервале, а также то, что в точках экстремума касательная к графику горизонтальна.
   • От точки $(0; 0)$ до точки $(1; 2)$ ведем кривую вверх, так как функция возрастает. В точке $(1; 2)$ (локальный максимум) кривая имеет "вершину".
   • От точки $(1; 2)$ до точки $(4; -2)$ ведем кривую вниз, так как функция убывает. Кривая проходит через точку $(2; 0)$. В точке $(4; -2)$ (локальный минимум) кривая имеет "впадину".
   • От точки $(4; -2)$ до точки $(6; 3)$ ведем кривую вверх, так как функция снова возрастает. Кривая проходит через точку $(5; 0)$.

Ниже представлен эскиз графика, построенный по этим данным.

Ответ:

Эскиз графика представляет собой непрерывную кривую на отрезке $[0; 6]$, которая последовательно проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(2; 0)$, $(4; -2)$, $(5; 0)$ и $(6; 3)$.

• Функция возрастает на интервалах $(0; 1)$ и $(4; 6)$.
• Функция убывает на интервале $(1; 4)$.
• Точка $(1; 2)$ является точкой локального максимума.
• Точка $(4; -2)$ является точкой локального минимума.

Визуальное представление графика приведено выше.