Номер 807, страница 243 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 807, страница 243.

Условие.

807 Найти $f'(3)$ и $f'(1)$, если:

1) $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$;

2) $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1$;

3) $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3}$;

4) $f(x) = x^2 - x^{-\frac{3}{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$. Для нахождения производной представим функцию в виде степеней: $f(x) = x^{-1} + x^{-2}$.
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило суммы, найдем производную:
$f'(x) = (x^{-1})' + (x^{-2})' = -1 \cdot x^{-1-1} + (-2) \cdot x^{-2-1} = -x^{-2} - 2x^{-3}$.
Запишем производную в более удобном виде: $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x=3$: $f'(3) = -\frac{1}{3^2} - \frac{2}{3^3} = -\frac{1}{9} - \frac{2}{27} = -\frac{3}{27} - \frac{2}{27} = -\frac{5}{27}$.
При $x=1$: $f'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3} = -1 - 2 = -3$.
Ответ: $f'(3) = -\frac{5}{27}$, $f'(1) = -3$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1$. Представим ее в виде степеней: $f(x) = x^{\frac{1}{2}} + x^{-1} + 1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' + (x^{-1})' + (1)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 1 \cdot x^{-1-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2}$.
Запишем производную в виде дробей с корнями: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$.
Вычислим значения производной в заданных точках.
При $x=3$: $f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{9}$. Приведем к общему знаменателю: $f'(3) = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{9} = \frac{3\sqrt{3}}{18} - \frac{2}{18} = \frac{3\sqrt{3}-2}{18}$.
При $x=1$: $f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{1^2} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $f'(3) = \frac{3\sqrt{3}-2}{18}$, $f'(1) = -\frac{1}{2}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3}$. Представим ее в виде степеней: $f(x) = 3x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-3}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = 3 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} - 2 \cdot (-3)x^{-3-1} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 6x^{-4}$.
Запишем производную в виде дробей: $f'(x) = -\frac{3}{2x^{\frac{3}{2}}} + \frac{6}{x^4} = -\frac{3}{2x\sqrt{x}} + \frac{6}{x^4}$.
Вычислим значения производной в заданных точках.
При $x=3$: $f'(3) = -\frac{3}{2 \cdot 3\sqrt{3}} + \frac{6}{3^4} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{6}{81} = -\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{2}{27} = \frac{-9\sqrt{3}}{54} + \frac{4}{54} = \frac{4-9\sqrt{3}}{54}$.
При $x=1$: $f'(1) = -\frac{3}{2 \cdot 1\sqrt{1}} + \frac{6}{1^4} = -\frac{3}{2} + 6 = \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2}$.
Ответ: $f'(3) = \frac{4-9\sqrt{3}}{54}$, $f'(1) = \frac{9}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}}$. Функция уже представлена в виде степеней.
Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - (-\frac{3}{2})x^{-\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$.
Запишем производную в виде корней и дробей: $f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$.
Вычислим значения производной в заданных точках.
При $x=3$: $f'(3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{18\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{6\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} + 1}{6\sqrt{3}} = \frac{27+1}{6\sqrt{3}} = \frac{28}{6\sqrt{3}} = \frac{14}{3\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{9}$.
При $x=1$: $f'(1) = \frac{3\sqrt{1}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 1^2\sqrt{1}} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: $f'(3) = \frac{14\sqrt{3}}{9}$, $f'(1) = 3$.