Номер 801, страница 239 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

801 Найти значения x, при которых значения функции $y = \sqrt{3x - 7}$ равны значениям функции, являющейся её производной.

а) y = f(x)

б) y = g(x)

Рис. 108

Для функции $y = \sqrt{3x - 7}$ найдем значения $x$, при которых значение функции равно значению ее производной.
1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$3x - 7 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 7 \Rightarrow x \ge \frac{7}{3}$.
2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:$y' = (\sqrt{3x - 7})' = \frac{1}{2\sqrt{3x - 7}} \cdot (3x - 7)' = \frac{3}{2\sqrt{3x - 7}}$.Область определения производной: $3x - 7 > 0 \Rightarrow x > \frac{7}{3}$.
3. Составим и решим уравнение $y = y'$:$\sqrt{3x - 7} = \frac{3}{2\sqrt{3x - 7}}$.Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{3x - 7}$ (это допустимо, так как в области определения $x > \frac{7}{3}$ знаменатель не равен нулю):$2(\sqrt{3x - 7})^2 = 3$$2(3x - 7) = 3$$6x - 14 = 3$$6x = 17$$x = \frac{17}{6}$.
4. Проверим, принадлежит ли найденный корень области определения:$x = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$.$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} = 2\frac{2}{6}$.Поскольку $2\frac{5}{6} > 2\frac{2}{6}$, значение $x = \frac{17}{6}$ удовлетворяет условию $x > \frac{7}{3}$.
Ответ: $x = \frac{17}{6}$.

а) На графике изображена парабола $y = f(x)$ с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями вверх. Ее уравнение можно записать в виде $f(x) = a(x-0)^2 + 1 = ax^2 + 1$.Для определения коэффициента $a$ используем точку на графике, например, $(1, 2)$:$2 = a \cdot 1^2 + 1 \Rightarrow a = 1$.Итак, функция задана формулой $f(x) = x^2 + 1$.Найдем ее производную:$f'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.Теперь решим уравнение $f(x) = f'(x)$:$x^2 + 1 = 2x$$x^2 - 2x + 1 = 0$$(x-1)^2 = 0$$x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

б) На графике изображена парабола $y = g(x)$ с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями вниз. Ее уравнение можно записать в виде $g(x) = a(x-0)^2 + 1 = ax^2 + 1$.Для определения коэффициента $a$ используем точку на графике, например, $(1, 0)$:$0 = a \cdot 1^2 + 1 \Rightarrow a = -1$.Итак, функция задана формулой $g(x) = -x^2 + 1$.Найдем ее производную:$g'(x) = (-x^2 + 1)' = -2x$.Теперь решим уравнение $g(x) = g'(x)$:$-x^2 + 1 = -2x$$x^2 - 2x - 1 = 0$.Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.Мы получили два значения для $x$.
Ответ: $x = 1 - \sqrt{2}$, $x = 1 + \sqrt{2}$.