Номер 805, страница 243 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 805, страница 243.

Условие.

805 Найти производную функции:

1) $x^2 + \frac{1}{x^3}$;

2) $x^3 + \frac{1}{x^2}$;

3) $2 \sqrt[4]{x} - \sqrt{x}$;

4) $3 \sqrt[6]{x} + 7 \sqrt[14]{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $y = x^2 + \frac{1}{x^3}$ необходимо представить второе слагаемое в виде степени с отрицательным показателем.
$y = x^2 + x^{-3}$
Теперь воспользуемся правилом дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и формулой производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
$y' = (x^2)' + (x^{-3})' = 2x^{2-1} + (-3)x^{-3-1} = 2x - 3x^{-4}$
Запишем результат в виде дроби:
$y' = 2x - \frac{3}{x^4}$
Ответ: $2x - \frac{3}{x^4}$

2) Для нахождения производной функции $y = x^3 + \frac{1}{x^2}$ представим второе слагаемое в виде степени с отрицательным показателем.
$y = x^3 + x^{-2}$
Применяем правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции:
$y' = (x^3)' + (x^{-2})' = 3x^{3-1} + (-2)x^{-2-1} = 3x^2 - 2x^{-3}$
Запишем результат в виде дроби:
$y' = 3x^2 - \frac{2}{x^3}$
Ответ: $3x^2 - \frac{2}{x^3}$

3) Для нахождения производной функции $y = 2\sqrt[4]{x} - \sqrt{x}$ представим корни в виде степеней с дробными показателями.
$y = 2x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{2}}$
Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$, правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и формулу производной степенной функции.
$y' = (2x^{\frac{1}{4}})' - (x^{\frac{1}{2}})' = 2 \cdot (\frac{1}{4})x^{\frac{1}{4}-1} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$
$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
Этот результат можно также записать в виде корней:
$y' = \frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

4) Для нахождения производной функции $y = 3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x}$ представим корни в виде степеней с дробными показателями.
$y = 3x^{\frac{1}{6}} + 7x^{\frac{1}{14}}$
Используем правила дифференцирования и формулу производной степенной функции:
$y' = (3x^{\frac{1}{6}})' + (7x^{\frac{1}{14}})' = 3 \cdot (\frac{1}{6})x^{\frac{1}{6}-1} + 7 \cdot (\frac{1}{14})x^{\frac{1}{14}-1}$
$y' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{6}-\frac{6}{6}} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{14}-\frac{14}{14}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{13}{14}}$
Этот результат можно также записать в виде корней:
$y' = \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}}$
Ответ: $\frac{1}{2}x^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{13}{14}}$