Номер 804, страница 243 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 804, страница 243.

Условие.

804 Построить график функции $y = 3 (x - 2)^2 + 1$ и график функции, являющейся её производной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Построение графика функции $y = 3(x - 2)^2 + 1$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Уравнение $y = 3(x - 2)^2 + 1$ представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины.

В нашем случае $a = 3$, $h = 2$, $k = 1$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2; 1)$. Так как коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для более точного построения найдем несколько дополнительных точек, принадлежащих графику.
При $x = 0$ получаем $y = 3(0 - 2)^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13$. Точка $(0; 13)$.
При $x = 1$ получаем $y = 3(1 - 2)^2 + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$. Точка $(1; 4)$.
Ось симметрии параболы — это прямая $x = 2$. Поэтому точка, симметричная точке $(1; 4)$ относительно этой оси, имеет координаты $(3; 4)$.
Аналогично, точка, симметричная точке $(0; 13)$, имеет координаты $(4; 13)$.

Таким образом, для построения графика мы отмечаем вершину $(2; 1)$ и точки $(1; 4)$, $(3; 4)$, $(0; 13)$, $(4; 13)$, после чего соединяем их плавной линией.

Ответ: График функции $y = 3(x - 2)^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(2; 1)$, ветвями, направленными вверх, и проходящая через точки $(1; 4)$ и $(3; 4)$.

Построение графика производной функции

Сначала найдем производную функции $y = 3(x - 2)^2 + 1$. Для этого можно сначала раскрыть скобки в исходном уравнении:
$y = 3(x^2 - 4x + 4) + 1 = 3x^2 - 12x + 12 + 1 = 3x^2 - 12x + 13$.

Теперь, используя правила дифференцирования, найдем производную $y'$:
$y' = (3x^2 - 12x + 13)' = (3x^2)' - (12x)' + (13)' = 6x - 12$.

Итак, функция, являющаяся производной, имеет вид $y' = 6x - 12$. Эта функция является линейной, и её график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.
Найдем точку пересечения с осью Oy (при $x = 0$): $y' = 6(0) - 12 = -12$. Получаем точку $(0; -12)$.
Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y' = 0$): $0 = 6x - 12$, откуда $6x = 12$, и $x = 2$. Получаем точку $(2; 0)$.

Через точки $(0; -12)$ и $(2; 0)$ проводим прямую, которая и является графиком производной. Можно заметить, что производная равна нулю при $x=2$, что соответствует абсциссе вершины исходной параболы (её точке экстремума). При $x < 2$ производная отрицательна (график прямой ниже оси Ox), и исходная функция убывает. При $x > 2$ производная положительна (график прямой выше оси Ox), и исходная функция возрастает.

Ответ: График производной — это прямая $y' = 6x - 12$, которая проходит через точки $(2; 0)$ и $(0; -12)$.