Номер 806, страница 243 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 46. Правила дифференцирования. Глава 8. Производная и её геометрический смысл - номер 806, страница 243.

806 Найти $f'(0)$ и $f'(2)$, если:

1) $f(x) = x^2 - 2x + 1$;

2) $f(x) = x^3 - 2x$;

3) $f(x) = -x^3 + x^2$;

4) $f(x) = x^2 + x + 1$.

1) Для функции $f(x) = x^2 - 2x + 1$ необходимо найти значения ее производной в точках $x=0$ и $x=2$.

Первым шагом является нахождение производной функции $f'(x)$. Мы будем использовать основные правила дифференцирования: производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных, и производная константы равна нулю.

$f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = (x^2)' - (2x)' + (1)'$.

Вычисляем производную каждого слагаемого:

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$

$(2x)' = 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2$

$(1)' = 0$

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 2x - 2$.

Теперь, чтобы найти $f'(0)$ и $f'(2)$, подставим значения $x=0$ и $x=2$ в полученное выражение для производной.

При $x=0$:

$f'(0) = 2(0) - 2 = 0 - 2 = -2$.

При $x=2$:

$f'(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: $f'(0) = -2$, $f'(2) = 2$.

2) Для функции $f(x) = x^3 - 2x$ найдем значения ее производной в точках $x=0$ и $x=2$.

Сначала найдем производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 2x)' = (x^3)' - (2x)'$.

Используя правило для степенной функции, получаем:

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$

$(2x)' = 2$

Следовательно, производная функции:

$f'(x) = 3x^2 - 2$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 3(0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$.

При $x=2$:

$f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.

Ответ: $f'(0) = -2$, $f'(2) = 10$.

3) Для функции $f(x) = -x^3 + x^2$ найдем значения ее производной в точках $x=0$ и $x=2$.

Найдем производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (-x^3 + x^2)' = (-x^3)' + (x^2)'$.

Вычисляем производные слагаемых:

$(-x^3)' = -3x^{3-1} = -3x^2$

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = -3x^2 + 2x$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = -3(0)^2 + 2(0) = 0 + 0 = 0$.

При $x=2$:

$f'(2) = -3(2)^2 + 2(2) = -3 \cdot 4 + 4 = -12 + 4 = -8$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(2) = -8$.

4) Для функции $f(x) = x^2 + x + 1$ найдем значения ее производной в точках $x=0$ и $x=2$.

Найдем производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (x^2 + x + 1)' = (x^2)' + (x)' + (1)'$.

Вычисляем производные слагаемых:

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$

$(x)' = 1x^{1-1} = 1$

$(1)' = 0$

Следовательно, производная функции:

$f'(x) = 2x + 1$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1$.

При $x=2$:

$f'(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.

Ответ: $f'(0) = 1$, $f'(2) = 5$.