Номер 800, страница 239 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 800, страница 239.

Условие.

800 По данному на рисунке 108 графику квадратичной функции написать формулы, задающие саму функцию и её производную.

а) $f(x) = x^2 + 1$

$f'(x) = 2x$

б) $g(x) = -x^2 + 1$

$g'(x) = -2x$

Рис. 108

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

График функции $y = f(x)$ представляет собой параболу. Для нахождения ее формулы удобно использовать вершинную форму уравнения квадратичной функции: $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ – это координаты вершины параболы.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 1)$. Таким образом, $h=0$ и $k=1$. Подставив эти значения в уравнение, получаем:

$f(x) = a(x-0)^2 + 1 = ax^2 + 1$

Чтобы найти коэффициент $a$, выберем на графике еще одну точку, координаты которой легко определить. Например, точка $(1, 2)$. Подставим ее координаты ($x=1$, $y=2$) в полученное уравнение:

$2 = a \cdot 1^2 + 1$

$2 = a + 1$

$a = 1$

Следовательно, формула, задающая функцию, имеет вид: $f(x) = x^2 + 1$.

Теперь найдем производную этой функции. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$f'(x) = (x^2 + 1)' = (x^2)' + (1)' = 2x + 0 = 2x$.

Ответ: $f(x) = x^2 + 1$, $f'(x) = 2x$.

б)

График функции $y = g(x)$ также является параболой. Воспользуемся той же вершинной формой уравнения: $y = a(x-h)^2 + k$.

Вершина этой параболы, как и в предыдущем случае, находится в точке $(0, 1)$, поэтому $h=0$ и $k=1$. Уравнение функции принимает вид:

$g(x) = a(x-0)^2 + 1 = ax^2 + 1$

Для определения коэффициента $a$ выберем на графике точку, например, $(1, 0)$. Подставим ее координаты ($x=1$, $y=0$) в уравнение:

$0 = a \cdot 1^2 + 1$

$0 = a + 1$

$a = -1$

Следовательно, формула, задающая функцию, имеет вид: $g(x) = -x^2 + 1$.

Теперь найдем производную этой функции:

$g'(x) = (-x^2 + 1)' = (-x^2)' + (1)' = -2x + 0 = -2x$.

Ответ: $g(x) = -x^2 + 1$, $g'(x) = -2x$.