Номер 790, страница 238 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 45. Производная степенной функции - номер 790, страница 238.

Условие.

790 1) $ \frac{1}{x^5}; $

2) $ \frac{1}{x^9}; $

3) $ \sqrt[4]{x}; $

4) $ \sqrt[3]{x^2}; $

5) $ \frac{1}{\sqrt[3]{x}}; $

6) $ \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить выражение $ \frac{1}{x^5} $ в виде степени, используется свойство степени с отрицательным показателем, которое гласит: $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $. Применяя это правило, где $ a=x $ и $ n=5 $, получаем:
$ \frac{1}{x^5} = x^{-5} $.
Ответ: $ x^{-5} $.

2) Аналогично первому пункту, применяем свойство степени с отрицательным показателем $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ к выражению $ \frac{1}{x^9} $. В этом случае $ a=x $ и $ n=9 $.
$ \frac{1}{x^9} = x^{-9} $.
Ответ: $ x^{-9} $.

3) Для представления корня в виде степени с рациональным показателем используется формула $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $. Выражение $ \sqrt[4]{x} $ можно записать как $ \sqrt[4]{x^1} $.
Применяя формулу, где $ n=4 $ и $ m=1 $, получаем:
$ \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} $.
Ответ: $ x^{\frac{1}{4}} $.

4) Используем ту же формулу $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $ для выражения $ \sqrt[3]{x^2} $.
Здесь степень корня $ n=3 $, а показатель степени подкоренного выражения $ m=2 $.
$ \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} $.
Ответ: $ x^{\frac{2}{3}} $.

5) В этом задании нужно применить два свойства. Сначала преобразуем корень в знаменателе в степень с рациональным показателем: $ \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} $.
Теперь выражение имеет вид $ \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} $.
Далее, используем свойство степени с отрицательным показателем $ \frac{1}{a^p} = a^{-p} $:
$ \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{-\frac{1}{3}} $.
Ответ: $ x^{-\frac{1}{3}} $.

6) Это задание решается аналогично предыдущему. Сначала преобразуем корень в знаменателе, используя формулу $ \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} $:
$ \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}} $.
Теперь исходное выражение можно записать как $ \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} $.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$ \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = x^{-\frac{3}{4}} $.
Ответ: $ x^{-\frac{3}{4}} $.