Номер 786, страница 235 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 44. Производная - номер 786, страница 235.

Условие.

786 Используя определение предела функции в точке, выяснить, является ли верным равенство:

1) $\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3;$

2) $\lim_{x \to 2} x^2 = 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для проверки равенств воспользуемся определением предела функции в точке (на языке "эпсилон-дельта").

Число $L$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ найдется такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$.

1) Проверим равенство $\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3$.

Здесь $f(x) = 2x + 1$, $a = 1$, $L = 3$. Нам нужно доказать, что для любого $\epsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что из $0 < |x - 1| < \delta$ следует $|(2x + 1) - 3| < \epsilon$.

Рассмотрим неравенство с $\epsilon$: $|(2x + 1) - 3| < \epsilon$ $|2x - 2| < \epsilon$ $|2(x - 1)| < \epsilon$ $2|x - 1| < \epsilon$ $|x - 1| < \frac{\epsilon}{2}$

Мы видим, что если взять $\delta = \frac{\epsilon}{2}$, то условие будет выполняться. Проведем формальное доказательство. Пусть задано произвольное $\epsilon > 0$. Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{2}$. Так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$. Тогда для любого $x$, такого что $0 < |x - 1| < \delta$, имеем: $|x - 1| < \frac{\epsilon}{2}$ Умножим обе части на 2: $2|x - 1| < \epsilon$ $|2x - 2| < \epsilon$ $|(2x + 1) - 3| < \epsilon$ Таким образом, мы показали, что для любого $\epsilon > 0$ можно найти соответствующее $\delta > 0$ (в данном случае $\delta = \frac{\epsilon}{2}$), что доказывает верность равенства согласно определению предела.

Ответ: равенство верное.

2) Проверим равенство $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.

Здесь $f(x) = x^2$, $a = 2$, $L = 4$. Нам нужно доказать, что для любого $\epsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что из $0 < |x - 2| < \delta$ следует $|x^2 - 4| < \epsilon$.

Рассмотрим неравенство с $\epsilon$: $|x^2 - 4| < \epsilon$ $|(x - 2)(x + 2)| < \epsilon$ $|x - 2| \cdot |x + 2| < \epsilon$

Нам нужно найти связь между $|x - 2|$ и $\epsilon$. В выражении присутствует множитель $|x + 2|$, который зависит от $x$. Поскольку мы рассматриваем $x$ вблизи точки $a = 2$, мы можем ограничить $x$ небольшим интервалом вокруг 2. Например, потребуем, чтобы $\delta \le 1$. Если $|x - 2| < 1$, то $-1 < x - 2 < 1$, откуда следует $1 < x < 3$. Для таких $x$ мы можем оценить множитель $|x + 2|$: Если $1 < x < 3$, то $1+2 < x+2 < 3+2$, то есть $3 < x + 2 < 5$. Отсюда следует, что $|x + 2| < 5$.

Теперь вернемся к нашему неравенству: $|x - 2| \cdot |x + 2| < \epsilon$ Поскольку $|x + 2| < 5$, мы можем записать: $|x - 2| \cdot |x + 2| < |x - 2| \cdot 5$ Чтобы выполнялось исходное неравенство, достаточно потребовать, чтобы $|x - 2| \cdot 5 < \epsilon$, то есть $|x - 2| < \frac{\epsilon}{5}$.

Итак, мы получили два условия для $\delta$: $\delta \le 1$ и $\delta \le \frac{\epsilon}{5}$. Чтобы удовлетворить обоим условиям, мы можем выбрать $\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{5})$. Проведем формальное доказательство. Пусть задано произвольное $\epsilon > 0$. Выберем $\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{5})$. Так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$. Тогда для любого $x$, такого что $0 < |x - 2| < \delta$, выполняются два условия: $|x-2|<1$ и $|x-2|<\frac{\epsilon}{5}$. Из $|x-2|<1$ следует, что $x$ находится в интервале $(1, 3)$, и для него $|x+2| < 5$. Рассмотрим $|x^2 - 4|$: $|x^2 - 4| = |x - 2| \cdot |x + 2| < \delta \cdot 5$ Так как $\delta \le \frac{\epsilon}{5}$, то $\delta \cdot 5 \le \epsilon$. Следовательно, $|x^2 - 4| < \epsilon$. Таким образом, мы показали, что для любого $\epsilon > 0$ можно найти соответствующее $\delta > 0$, что доказывает верность равенства согласно определению предела.

Ответ: равенство верное.