Номер 774, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 7. Тригонометрические функции. Упражнения к главе 7 - номер 774, страница 228.

Условие.

774 Найти множество значений функции:

1) $y = 12 \sin x - 5 \cos x$;

2) $y = \cos^2 x - \sin x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения множества значений функции вида $y = a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод заключается в преобразовании выражения к виду $y = R \sin(x+\phi)$ или $y = R \cos(x+\psi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Множеством значений такой функции будет отрезок $[-R, R]$.
В нашем случае функция $y = 12 \sin x - 5 \cos x$. Здесь $a=12$ и $b=-5$.
Найдем значение $R$:
$R = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.
Преобразуем функцию, вынеся 13 за скобки:
$y = 13 \left( \frac{12}{13} \sin x - \frac{5}{13} \cos x \right)$.
Пусть существует угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{12}{13}$ и $\sin \phi = \frac{5}{13}$. Такой угол существует, так как $\left(\frac{12}{13}\right)^2 + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1$.
Тогда выражение в скобках можно представить как синус разности:
$\sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi = \sin(x - \phi)$.
Таким образом, исходная функция принимает вид: $y = 13 \sin(x - \phi)$.
Поскольку множество значений функции $\sin(x - \phi)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то множество значений функции $y$ равно $[-1 \cdot 13, 1 \cdot 13]$, то есть $[-13, 13]$.
Ответ: $[-13, 13]$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = \cos^2 x - \sin x$ преобразуем ее так, чтобы она зависела только от одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
Подставим это выражение в исходную функцию:
$y = (1 - \sin^2 x) - \sin x = -\sin^2 x - \sin x + 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как множество значений синуса — это отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ может принимать значения только из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.
Задача сводится к нахождению множества значений квадратичной функции $f(t) = -t^2 - t + 1$ на отрезке $[-1, 1]$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицателен ($-1$). Следовательно, свое наибольшее значение функция достигает в вершине параболы, если она попадает в заданный отрезок.
Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$:
$t_в = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$.
Так как $t_в = -0.5$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наибольшее значение функции будет в этой точке:
$y_{наиб} = f(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
Наименьшее значение на отрезке парабола с ветвями вниз принимает на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:
$f(-1) = -(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1$.
$f(1) = -(1)^2 - 1 + 1 = -1 - 1 + 1 = -1$.
Сравнивая полученные значения, находим, что наименьшее значение функции равно $-1$.
Таким образом, множество значений функции $y$ — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения, то есть $[-1, \frac{5}{4}]$.
Ответ: $[-1, \frac{5}{4}]$.